高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2_6_1 曲线与方程学案 苏教版选修2-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散26.1曲线与方程学习目标1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义知识点曲线的方程、方程的曲线如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)0的曲线思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明(2)如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界如方程y表示的曲线是半圆，而非整圆(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)0；若f(x0，y0)0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)0.题型一曲线与方程的概念例1(1)已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是_(填序号)曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0；凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在曲线C上；不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)0；不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0.答案(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系解与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.反思与感悟判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上跟踪训练1判断下列命题是否正确(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|2.解(1)不正确设(x0，y0)是方程y的解，则y0，即xyr2.两边开平方取算术平方根，得r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点(，r)在圆上，却不是y的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y，而应是y.(2)不正确直线l上的点的坐标都是方程|x|2的解然而，坐标满足|x|2的点不一定在直线l上，因此|x|2不是直线l的方程，直线l的方程为x2.题型二由方程判断其表示的曲线例2方程(2x3y5)(1)0表示的曲线是什么？解因为(2x3y5)(1)0，所以可得或者10，即2x3y50(x3)或者x4，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x3)和一条直线x4.反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线跟踪训练2“(2x3y5)log2(x2y)30”，其表示什么曲线？解因为(2x3y5)log2(x2y)30，所以可得或者x2y8，即2x3y50(x10)或者x2y8，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是_答案a1解析a0，方程ya|x|和yxa(a0)的图象大致如图，要使方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求ya|x|在y轴右侧的斜率大于yxa的斜率，a1.(2)已知直线l：yxb与曲线C：y有两个公共点，求b的取值范围解由方程组得消去x，得到2y22byb210(y0)l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得解得1b.所以b的取值范围为1，)1“点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程y2 ”的_条件答案必要不充分解析y20，而y24x中y可正可负，点M在曲线y24x上时，点M不一定在y2上反之，点M在y2上时，点M一定在y24x上2方程(x24)2(y24)20表示的图形是_答案四个点解析由已知得即或或或3下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是_(填序号)答案解析对于，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除；对于，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除；对于，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除.4已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为_答案或解析由(cos 2)2sin23，得cos .又02，或.5过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为_答案xy10解析设M(x，y)，如图，由直角三角形的性质可知PMMO，即(x1)2(y1)2x2y2，xy10.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上2点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程3方程表示的曲线的判断步骤：4判断方程表示曲线的注意事项：(1)方程变形前后要等价，否则变形