高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 命题“若ab0，则b0”的逆否命题是_【答案】“若b0，则ab0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab0，则b0”的逆否命题是“若b0，则ab0”.故答案为：“若b0，则ab0”.2. 已知复数z满足 z(1i)i，其中i是虚数单位，则 |z| 为_【答案】【解析】复数z满足 z(1i)i，所以.所以.故答案为：.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点坐标是_【答案】(1，0)【解析】抛物线y24x，满足y22px，其中p=2.所以抛物线y24x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4. “x23x20”是“1x2”成立的_条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）【答案】充分不必要【解析】由x23x20，解得1x2，因为1x2是“1x2”成立的充分不必要条件，所以“x23x20”是“1x2”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知实数x，y满足条件 则z3xy 的最大值是_【答案】7【解析】作出不等式的可行域如图所示： 作直线经过点A(2,1)时，z取最大值7.故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 函数 f(x)xex 的单调减区间是_【答案】(，1)或(，1【解析】函数 f(x)xex，求导得：.令，解得.所以函数 f(x)xex 的单调减区间是(，1)（ (，1也可以).故答案为: (，1)或(，1.7. 如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线yf(x) 相切于点(a，3)若f (a)，则实数a的值是_ 【答案】3【解析】由导数的几何意义知f (a)，即为切线斜率为.所以，解得.故答案为：3.8. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (xa)2(ya)22 与圆 x2(y6)28相外切，则实数a的值为_【答案】3【解析】圆 (xa)2(ya)22 与圆 x2(y6)28相外切，则圆心距等于半径之和，即，解得.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。判断两圆的位置关系时的常用方法是找两圆心距和两半径之和或差的关系。常考的题型是已知位置关系求参或者找公切线的条数。9. 如图，在三棱锥PABC中， M是侧棱PC的中点，且，则xyz的值为_【答案】0【解析】在三棱锥PABC中， M是侧棱PC的中点，所以.又，.所以.所以.故答案为0.10. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线y21的渐近线与抛物线x24y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为_【答案】3【解析】双曲线y21的渐近线为：,抛物线x24y的准线为：.联立两直线得：.三角形OAB的面积为.故答案为：.11. 在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线 xy20的距离为1，则满足条件的点A的个数为_【答案】3【解析】点A到原点的距离为2，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上，圆心O(0,0)到直线xy20的距离为：.所以圆上到直线 xy20的距离为1的点共3个.故答案为：3.12. 若函数f(x)x33x2mx在区间 (0，3) 内有极值，则实数m的取值范围是_【答案】(9，3)【解析】函数f(x)x33x2mx求导得：,有对称轴为.若函数f(x)x33x2mx在区间 (0，3) 内有极值，则，解得.故答案为：(9，3).13. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 (ab0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C若，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】由题意,，,.代入椭圆 (ab0)，得,即解得.故答案为：.14. 已知函数f(x)x|x23|若存在实数m，m(0，使得当x0，m 时，f(x)的取值范围是0，am，则实数a的取值范围是_【答案】1，3)【解析】f(x)x|x23|，作出函数图像如图所示：根据题意知m(0，x0，m.当m(0，1时，f(x)在0，m上单调递增，此时f(x)的取值范围是.所以，即，得；当m(1，2时，此时f(x)的取值范围是.所以，得；当m(2，时，此时f(x)的取值范围是.所以，即，得.综上：实数a的取值范围是1，3).故答案为：1，3).二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知复数z，（mR，i是虚数单位）（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）化简z12m(2m1)i，若z是纯虚数，只需12m0且2m10即可；（2）求得12m(2m1)i，得2z=36m(2m1)i，只需即可.试题解析：（1）z12m(2m1)i 因为z是纯虚数，所以12m0且2m10， 解得m （2）因为是z的共轭复数，所以12m(2m1)i 所以2z12m(2m1)i212m(2m1)i36m(2m1)i 因为复数2z在复平面上对应的点在第一象限，所以 解得m，即实数m的取值范围为(，)点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.当时复数为实数, 当时复数为虚数,当时复数为纯虚数.16. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点 （1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；（2）设二面角ABDG的大小为，求 |cos| 的值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，进而通过计算即可得解；（2）计算得平面DBG和平面ABD的法向量n1和n2，通过计算cosn1，n2即可得解.试题解析：如图，以， 为正交基底建立坐标系Dxyz设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)（1）因为(2，1，2)(1，2，0)(1，1，2)， (1，2，2)， 所以11(1)2223，|，|3从而cos，即向量与的夹角的余弦为，从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为 （2）(2，2，0)， (1，2，2) 设平面DBG的一个法向量为n1(x，y，z )由题意，得 取x2，可得y2，z1所以n1(2，2，1) 又平面ABD的一个法向量n2(0，0，2)，所以cosn1，n2 因此 |cos|点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；.17. 如图，圆锥OO1的体积为设它的底面半径为x，侧面积为S（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？ 【答案】(1) (2) 当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小【解析】试题分析：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l，根据体积为得，解得h，进而得l，从而得；（2）令f(x)，求导，利用函数的单调性求最值即可.试题解析：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l因为圆锥的体积为，即x2h，所以h 因此 l， 从而Sxlx，(x0) （2）令f(x)x4，则f (x)4x3，(x0) 由f (x)0，解得x 当0x时，f (x)0，即函数f(x)在区间(0，)上单调递减；当x时，f (x)0，即函数f(x)在区间(，)上单调递增所以当x时，f(x)取得极小值也是最小值答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：xy10上（1）求圆C的方程； （2）设P是圆D：x2y28x2y160上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标【答案】(1) x2y24x2y0 (2) S最小10，P(3，1)【解析】试题分析：（1）设圆C的方程为x2y2DxEyF0，根据条件得，即可得解；（2）依题意，S2SPMCPMMC ，当PC最小时，S最小，求PC最小即可.试题解析：（1）设圆C的方程为x2y2DxEyF0，其圆心为(，)因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：xy10上，所以 解得所求圆C的方程为x2y24x2y0 （2）由（1）知，圆C的方程为(x2)2(y1)25依题意，S2SPMCPMMC 所以当PC最小时，S最小 因为圆M：x2y28x2y160，所以M(4，1)，半径为1因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC6因为点PM，且圆M的半径为1，所以PCmin615 所以Smin10 此时直线MC：y1，从而P(3，1)19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (ab0)的一条准线方程为x，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴 设直线AM，AN的斜率分别是k1， k2，求k1k2的值； 过M作直线l1AM，过N作直线l2AN，l1与l2相交于点Q试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由 【答案】(1) y21(2) 点Q在一条定直线y1上【解析】试题分析：（1）根据题中条件得：,即可得解；（2）根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M(x0，y0)，N(x0，y0)( x00，y00)，由k1k2，及点在椭圆上即可得解；设Q(x1，y1)，用坐标表示斜率，通过垂直得斜率之积为-1，可得(y01)(y1y0)x0 (x1x0)，(y01)(y1y0)x0 (x1x0)，化得(y11) y00，所以y11，得证.试题解析：（1）设椭圆C：1的半焦距为c由题意，得 解得从而b1所以椭圆C的方程为y21 （2）根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M(x0，y0)，N(x0，y0)( x00，y00)，从而 k1k2 因为点M在椭圆C上，所以y021，所以1y02，所以k1k2 设Q(x1，y1)，依题意A(0，1)因为l1AM，所以1，即(y01)(y1y0)x0 (x1x0)；因为l2AN，所以1，即(y01)(y1y0)x0 (x1x0)，故 (y01)(y1y0)(y01)(y1y0)0，化得(y11) y00 从而必有y110，即y11即点Q在一条定直线y1上20. 设函数f(x)ax21lnx，其中aR（1）若a0，求过点(0，1)且与曲线yf(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2， 求a的取值范围； 求证：f (x1)f (x2)0【答案】(1) yx1 (2) (0，e)见解析【解析】试题分析：（1）设切点为T(x0，1lnx0)，得切线：y1lnx0 ( xx0)，将点(0，1)代入求解即可；（2）求导f (x)，讨论a0，和a0时函数的单调性求解即可；由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1x2)，得 ，两式作差得a(x1x2)，代入要证得式子得2ln0，令h(x)2lnxx，x(0，1)，求导利用单调性求最值即可证得.试题解析：（1）当a0时，f(x)1lnx，f (x)设切点为T(x0，1lnx0)，则切线方程为：y1lnx0 ( xx0) 因为切线过点(0，1)，所以 11ln x0(0x0)，解得x0e 所以所求切线方程为yx1 （2） f (x)ax，x0 (i) 若a0，则f (x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，从而函数f(x)在(0，)上至多有1个零点，不合题意 (ii)若a0，由f (x)0，解得x当0x时， f (x)0，函数f(x)单调递减；当x时， f (x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf()ln1ln要使函数f(x)有两个零点，首先 ln0，解得0ae 当0ae时，因为f()0，故f()f()0又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点 考察函数g(x)x1lnx，则g(x)1当x(0，1)时，g(x)0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数g(x)在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，故f()1ln0因为0，故因为f()f()0，且f(x)在(，)上单调递增，其图像在(，)上不间断，所以函数f(x)在区间(， 上恰有1个零点，即在(，)上恰有1个零点综上所述，a的取值范围是(0，e) 由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1x2)，得 两式相减，得 a(x12x22)ln0，即a(x1x2) (x1x2)ln0，所以a(x1x2) f (x1)f (x2)0等价