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文档简介

第十章 重积分习题课 主要内容 典型 例题 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三重积分 一、主要内容 1、二重积分的定义 、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值 性质 当 为常数时， 性质 、二重积分的性质 性质对区域具有可加性 性质若 为D的面积 性质若在D上， 特殊地 性质 性质 （二重积分中值定理） 、二重积分的计算 X型 X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （）直角坐标系下 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型 （）极坐标系下 5、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积 当薄片是均匀的，重心称为形心. (3) 重心 6、三重积分的定义 7、三重积分的几何意义 8、三重积分的性质 类似于二重积分的性质 9、三重积分的计算 () 直角坐标 () 柱面坐标 () 球面坐标 二、典型例题 例1. 计算二重积分 解: (1) 两部分, 则 把与D 分成作辅助线 例2 . 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 例3.证明 证:左端 = 右端 例4. 改变下列二次积分的积分次序： 解(1) 积分区域为 将 D 向 y 轴投影。 积分区域为 将 D 向 x 轴投影, 例5. 解积分区域为 将 D 向 y 轴投影。 计算 例6. 解 平面方程 所求面积 ).0 , 0 , 0( 1 =+ cba c z b y a x 部分的面积 的有限，被三个坐标面所割出求平面 所求面积 例7 计算二重积分其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . (2) 积分域如图:将D 分为添加辅助线 利用对称性 , 得 例8. 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得 其中 例9 解 利用球面坐标 利用“先二后一”计算. 例10. 试计算椭球体的体积 V. 解法 4、求 第十章课堂独立作业 1、求二重积分： 2、改变下列二次积
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