中考数学 黄金知识点系列 专题29 与圆有关的位置关系

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求专题29 与圆有关的位置关系聚焦考点温习理解一、点和圆的位置关系设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr点P在O外。二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与O相交 = dr；切线的判定和性质 ： （1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。切线长定理 ： （1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是ABC的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。三、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。名师点睛典例分类考点典例一、直线与圆的位置关系【例1】已知O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：若d5，则m=0；若d=5，则m=1；若1d5，则m=3；若d=1，则m=2；若d1，则m=4其中正确命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 4 D 5【答案】C【解析】试题分析：若d5时，直线与圆相离，则m=0，正确；若d=5时，直线与圆相切，则m=1，故正确；若1d5，则m=3，正确；若d=1时，直线与圆相交，则m=2正确；若d1时，直线与圆相交，则m=2，故错误故选C【点睛】考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系【举一反三】在平面直角坐标系中，直线经过点A（3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P），当P与直线相交时，横坐标为整数的点P共有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】考点典例二、切线的性质及判定【例2】（2016浙江宁波第23题）（本题10分）如图，已知O的直径AB=10，弦AC=6，BAC的平分线交O于点D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E。（1）求证：DE是O的切线；（2） 求DE的长。【答案】(1)详见解析；（2）4.【解析】过点O作OFAC于点F，AF=CF=3，OF=,OFE=DEF=ODE=90，四边形OFED是矩形，DE=OF=4.考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.【点晴】本题考查了圆的有关性质的综合应用，灵活运用知识解决问题是本题的解题关键【举一反三】（2016福建泉州第4题）如图，AB和O相切于点B，AOB=60，则A的大小为（）A15B30C45D60【答案】B【解析】考点：切线的性质考点典例三、圆和圆的位置关系【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆O1和O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则O2的半径r为（）A12 B8 C5 D3【答案】D【解析】试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3故选D考点：圆与圆的位置关系【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系.注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和.【举一反三】如图，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心O2，连接AO1并延长交O1于点C，则ACO2的度数为（ ）A60 B45 C30 D20【答案】C【解析】课时作业能力提升一选择题1（2016湖南湘西州第18题）在RTABC中，C=90，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则C与直线AB的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D不能确定【答案】A【解析】试题分析：如图，过C作CDAB于D，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，根据勾股定理AB=5，再根据ABC的面积=ACBC=ABCD，可得34=5CD，解得CD=2.42.5，即dr，所以以2.5为半径的C与直线AB的关系是相交；故答案选A考点：直线与圆的位置关系2. （2016湖北十堰第9题）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A10cm B15cm C10cm D20cm【答案】D.【解析】考点：圆锥的计算3. (2016山东潍坊第9题)如图，在平面直角坐标系中，M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（）A10 B8C4D2【答案】D.【解析】考点：切线的性质；坐标与图形性质4. （2016广西河池第12题）如图，在平面直角坐标系中，P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（）A（5，3）B（5，4）C（3，5）D（4，5）【答案】D【解析】试题分析：如图，过P作PCAB于点C，过P作PDx轴于点D，连接PB，P为圆心，AC=BC，A（0，2），B（0，8），AB=82=6，AC=BC=3，OC=83=5，P与x轴相切，PD=PB=OC=5，在RtPBC中，由勾股定理可得PC=4，P点坐标为（4，5），故选D考点：切线的性质；坐标与图形性质5.已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（ ）A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切【答案】D.【解析】考点：圆与圆的位置关系6. （2016湖北鄂州第8题）如图所示，AB是O的直径，AM、BN是O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9. 以下结论：O的半径为 ODBE PB= tanCEP=其中正确的结论有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】B.【解析】考点：圆的综合题.7. （2016贵州遵义第12题）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，P和Q分别是ABC和ADC的内切圆，则PQ的长是（）ABCD【答案】B【解析】试题分析：四边形ABCD为矩形，ACDCAB，P和Q的半径相等在RtBC中，AB=4，BC=3，AC=5，P的半径r=1连接点P、Q，过点Q作QEBC，过点P作PEAB交QE于点E，则QEP=90，如图所示在RtQEP中，QE=BC2r=32=1，EP=AB2r=42=2，PQ=故选B考点：三角形的内切圆与内心；矩形的性质二填空题8. （2016湖南永州第20题）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：（1）当d=3时，m=；（2）当m=2时，d的取值范围是【答案】（1）1；（2）0d3【解析】考点：直线与圆的位置关系9. （2016山东淄博第17题）如图，O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与O相切，此时菱形的边长为【答案】4【解析】考点：切线的性质；菱形的性质10. （2016黑龙江哈尔滨第18题）如图，AB为O的直径，直线l与O相切于点C，ADl，垂足为D，AD交O于点E，连接OC、BE若AE=6，OA=5，则线段DC的长为【答案】4.【解析】试题分析：令OC交BE于F，AB为O的直径，AEB=90，ADCD，BECD，CD为O的切线，OCCD，OCBE，四边形CDEF为矩形，CD=EF，在RtABE中，OFBE，BF=EF=4，CD=4考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.11. （2016湖北随州第15题）如图（1），PT与O1相切于点T，PAB与O1相交于A、B两点，可证明PTAPBT，从而有PT2=PAPB请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与O2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD=【答案】.【解析】考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质三、解答题12.如图，在ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.（1）求证：AB与O相切；（2）若AOB=120，AB=，求O的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由OA=OB，AC=BC，根据等腰三角形三线合一的性质可推出OCAB，即AB是O的切线 .考点：1. 等腰三角形的性质；2.切线的判定；3. 锐角三角函数定义.13. （2016山东枣庄第23题）(本题满分8分) 如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PA，PB，AB，已知PBA=C求证：PB是O的切线；连接OP，若OPBC，且OP=8，O的半径为，求BC的长【答案】(1)详见解析；（2）2.【解析】解：O的半径为，OB=，AC=OPBC，BOP=OBC=C.又ABC=PBO=90，ABCPBO，即.BC=2考点：切线的判定；相似三角形的判定及性质.14. （2016