初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第13章 正弦定理与余弦定理试题 新人教版

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第13章 正弦定理与余弦定理13.1.1 已知点是内一点，使得.求证：.解析 如图，设的三边为、，对应角分别为、，同理，.由正弦定理，故，同理，.于是.13.1.2在的及边上分别取点、，使，求的所有内角.解析 如图，易知，故.又由正弦定理，.于是（易见），故，.于是为正三角形，各内角均为.13.13 已知凸四边形，、上分别有点、，求证：、共点.解析 如图，设、垂心分别为、，与交于，与交于.由正弦定理及四点共圆，有，于是.同理，得与重合，即、共点.13.1.4 已知，在上，、延长后交于，是的外心（在内），若、共圆，则.解析 如图，设，.作，、分别是、之中点.易知，此即，于是.又由正弦定理，于是，故.13.1.5有一个凸四边形，顶点均在一圆周上，且，求的值.解析 由正弦定理知，其中、为三边长，为外接圆半径.于是由，并考虑个三角形有共同的外接圆，故有.代入数字，得，于是.13.1.6已知凸四边形，对角线交于，过的一条直线分别交、于、，过的另一条直线分别交、于、，、分别交于、，求证：.解析 如图，设好各角.由知，故，由正弦不定理，知止式可改为，于是，此即，两边同时除去，即得，此即，故.13.1.7证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形的对角线交于，又设，则.解析 如图，由余弦定理，又，所以.因此结论成立.13.1.8梯形，上底，下底，、延长后交于，试用、表示梯形的高.解析 如图，设，则由，有.又在上找一点，使.则由余弦定理，于是.设梯形的高为，则由，有，故.13.1.9锐角三角形中，为边上的高，为上一点，求证：.解析 如图，由及得.因此，即 ，故 .不妨设，则，.设，由，利用余弦定理得：，解得 或.当时，故.当时，在中，.与为锐角三角形矛盾，故舍去.13.1.10 试用身影定理推导余弦定理.解析 如图，对于，作，注意可在外，则有（、为的三对应边长），则理有，三个方程联立，即解得等三个式子，这就是余弦定理.13.1.11已知关于的方程，四边形中，且（如图所示）.（1）当方程有两个相等实数根时，求及此方程的根；（2）若此实根等于、之和，求之长.解析 （1）因方程有两个相等实数根，故，解得或.因，故不符合题意，应舍去，从而，所以.此时原方程可化为：，解得.（2）因，从而.又 ，故.即.因，故由正弦定理得.13.1.12设是正方形内部一点，到顶点、的距离分别是、2、3，求正方形的面积.解析 如图所示，设，则在中，；在中，.于是，解得.注意到，故应舍去.从而，即正方形面积为.13.1.13已知中，是高，是中点，求证：.并由此证明，若，是角平分线，在上，则.解析 如图，注意其中可取负值.又中点也是，故，而，于是 评注 本题亦可先用余弦定理求出.13.1.142已知中，延长到点，连结，若，且，求之长.解析 如图，设，则.又由余弦定理，此即.化简并整理，得，解得（舍），.所以.13.1.15已知正方形，、分别在、上，与分别交于、，若，求证：以、为边的三角形有一内角是.解析 设，则，且，.于是由比例及余弦定理知只需证明，即.而右式左式，证毕.13.1.16有一个等腰三角形，底边上的高是，是上一动点，关于、的对称点分别是、，四边形是平行四边形，则至的距离.解析 如图，由于、互相平分，故、至距离之和.13.1.17在中，点、分别是、的中点，点是重心，对的每一个值，有多少互不相似的，满足点、共圆？解析 如图，由、共圆，得.若设对应边为、，对应中线为、，则上式变为.又由中线长公式知，消去，得.又由余弦定理，再将抵消，得.若设，则，这个方程的，于是当时，方程无解；又当时，两边之比为负数，也不符合要求.除了以上两种情况，剩下来的便是时，此时有互为倒数或相同的解，因此合乎要求的三角形恰有一个.13.1.18在中，化简.解析 由余弦定理，故.同理，三式相加，即得.13.1.19证明余弦定理的另一种形式；.解析 如图，不妨设（即），则在上取一点，使，又作于，于，则在延长线上.于是平分，且，两式相加，得.又，由勾股定理，此即.13.1.20已知中，的平分线、上的中线、上的高共点，且，求.解析 如图，由于中线和角平分线均在内，故与均为锐角.设的三条对应边长为、.由塞瓦定理，有，即，故，由余弦定理知.由于，有，代入式，化简有，解得，于是，.13.1.21证明斯图沃特定理：为上一点，则.解析 如图，由于，故，分别在、用余弦定理代、，整理即得斯图沃特定理.评注 斯图沃特定理的一个著名的推论是中线长公式：若为之中线，则.13.1.22以点为旋转中心，将逆时针旋转为，设线段、的中点分别为、，若，且，求.解析 首先，反复利用中线长公式得，由得.由知上式两端只能为零，否则相似比为，有，与题设矛盾.因此由可知与均为正三角形.如图，设中点为，连结、.若设（注意可负），则，又，故，于是，因此为正三角形，.评注 中线长公式正是余弦定理的推论.13.1.23如图，在中，是上一点，作于，且，若，求的平分线之长.解析 设，则，.由于，故.由，得，解得或.因，而，故，从而，所以应舍去，即.于是，.由角平分线定理知