高中数学 第2章 推理与证明 2_1_1 合情推理优化训练 苏教版选修2-21

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.根据给出的数塔猜测123 4569+7等于（ ）19+2=11129+3=1111239+4=1 11112349+5=11 111A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113答案：B2.定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下图中的图形：则下列图形中可以表示A*D、A*C的分别是（ ）A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（1）（4）答案：C解析：注意观察分析、辨别，找到A、B、C、D分别对应的图形，A为竖线，B为大正方形，C为横线，D为小正方形.3.已知f1(x)=cosx,f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),f4(x)=f3(x)，fn(x)=fn-1(x)，则f2 006(x)等于（ ）A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx答案：B解析：f1(x)=cosx,f2(x)=f1(x)=-sinx,f3(x)=f2(x)=-cosx,f4(x)=f3(x)=sinx,f5(x)=f4(x)=cosx,再继续下去会重复出现，周期为4，f 2 006（x)=f2(x)=-sinx.4.三角形的面积为S=(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（ ）A.V=abcB.V=ShC.V=(S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径）D.V=（ab+bc+ac)h（h为四面体的高）答案：C解析：三角形ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c，类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V=（S1+S2+S3+S4）r.10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.把1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图),则第七个三角形数是( )A.27 B.28 C.29 D.30答案：B解析：第七个三角形数为1+2+3+4+5+6+728.2.观察三角形数与正方形数,猜测有可能正确的命题是( )A.相邻两个三角形数之和是正方形数 B.相邻两个正方形数之和是三角形数C.相邻两个三角形数之差是正方形数 D.相邻两个正方形数之差是三角形数答案：A3.设平面内有n个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同一点,它们把平面分成的区域数为p(n),如果该平面内再增加一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为p(n+1),那么p(n)与p(n+1)的递推关系式为_.解析：第n+1个圆与前n个圆有2n个交点,这2n个交点将第n+1个圆分成2n段弧,每段弧把所在的区域一分为二,就增加了2n个区域.答案:p(n+1)=p(n)+2n4.考查下列式子：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,得出的结论是_.解析:从数值特征看：左式首数为n时,共有连续2n-1个数,右式为(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)25.设an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n1,nN*),试归纳出这个数列的通项公式.解:由a1=1,2a22-a12+a2a1=0,得a2=.又3a32-2a22+a3a2=0,a3=.又4a42-3a32+a4a3=0,a4=.归纳猜想an=.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式：S=,可推知扇形面积公式S扇等于( )A. B. C. D.不可类比答案：C解析：由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得.2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色的?( )A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大答案：A解析:由图知,三白两黑周而复始相继排列,因3657余1,所以第36颗应与第1颗珠子颜色相同,即白色.3.观察下图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C. D.答案：A解析:图形涉及、三种符号;其中与各有3个,且各自有两黑一白,所以缺一个黑色符号,即应画上才合适.4.如果对象A和B都具有相同的属性P、Q、R等,此外已知对象A还有一个属性S,而对象B还有一个未知的属性x,由类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立?( )A.x就是P B.x就是Q C.x就是R D.x就是S答案：D解析:各自另外的属性S只能类比x.5.由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_.解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等6.已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则有+为定值，试写出关于椭圆的类似结论：_.答案：过椭圆的焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，则+为定值7.半径为r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+)上的变量,则(r2)=2r.式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球,若将R看作(0,+)上的变量,请你写出类似于的式子: _.式可用语言叙述为_.解析:该题考查了类比推理的思想.合情推理的正确与否来源于我们平时知识的积累,从平面到空间,长度到面积、面积到体积,这是我们平时的经验.答案:(R3)=4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数8.20世纪60年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数,如果它是偶数就用2除它;如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,会得到什么结果？试考察几个数并给出猜想.解:取自然数6,按角谷的作法有:62=3,33+1=10,102=5,35+1=16,162=8,82=4,42=2,22=1.其过程简记为63105168421.取自然数7,则有7221134175226134020101.取自然数100,则有10050257638195829884422111.归纳猜想：这样反复计算,必然会得到1.9.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.解:如图（1）所示