高中数学 第2章 平面向量 2_3 向量的坐标表示课堂导学 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.平面向量基本定理的理解与应用【例1】已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示+.思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式+=m+n，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数.解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），+=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n使得+=m+n，（-12，8）=m(1,3)+n(2,4).也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.可得解得+=32-22.温馨提示 用一组基底e1、e2表示平面内的任何一个向量a，应首先根据平面向量基本定理写成：a=1e1+2e2,然后代入各向量的坐标，转化成方程组，解得待定系数1、2，这就是常用的待定系数法.2向量的直角坐标运算法则与对向量平行的应用【例2】 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).（1）若（a+kc）(2b-a).求实数k的值.（2）设d=(x,y)满足（d-c）(a+b)且|d-c|=1.求d.思路分析：（1）将a、b、c的坐标代入a+kc和2b-a并分别求出其坐标，利用两向量共线的条件即可求得k值.（2）利用d-c与a+b共线与|d-c|=1列出两个关于x、y的方程，解方程即可.解：（1）（a+kc）(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)= (-2,4)-(3,2) =(-5,2).2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=.（2）d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解之得或d=(,)或（,）.温馨提示 向量的加减及实数与向量的积，两向量共线的等价条件、向量的模都可用于列方程求未知数的值.【例3】平面内已知三个点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6）.求，+，+.思路分析：本题主要涉及向量的坐标运算，代入相应的公式运算即可得.解：A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),=(7-1,0+2)=(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10),+=(6,2)+(-6,8)=(6,2)+(-3,4)=(3,6)温馨提示 对于向量的起点、终点及向量所对应的三组坐标中，可知二求一.对于向量的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.3.向量坐标形式的综合应用【例4】 已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使|AP|=3|BP|，求P点求标.思路分析：本题主要涉及定比分点坐标公式.首先确定用哪一个点作分点、起点和终点，正确确定定比的值，代入公式即可求得P点坐标.解：选定P为分点，A为起点，B为终点，则P分所成的两个向量为和，由图可知，与方向相反，=.由定比分点公式，设P点坐标为（x,y）.则所以P点坐标为（5，5）.温馨提示 一般地，A、B、P三点中选哪一个点作起点、分点或终点都可以，但一经确定两点.第三点也随之确定.虽然对各种情况的定比不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的定比的值，优化解题过程.而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点，致使公式用错.各个击破类题演练1如图，在ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，且=a，=b，沿向量，分解向量，.解：“沿向量，分解向量”，就是用向量，表示该向量.=-=b-b=b,=+=a+b,=-=b-(a+b)=-a-b,=+=a+b,=a+b,=HD-=b-(a+b)=-a+b.=a+b,=-a-b,=a+b,=-a+b.变式提升1已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(5,-3)，试用a和b来表示c.思路分析：设c=ma+nb,然后利用待定系数法求出m、n的值.解：设c=ma+nb,即（5，-3）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),于是有解得所以c=a-b.类题演练2已知点A、B的坐标分别为（2，-2），（4，3），向量p的坐标为（2k-1,7），且p，则k的值为多少？解：=（2，5），p=(2k-1,7).共线的条件为x1y2-x2y1=0,27-(2k-1)5=0,解得k=.变式提升2(1)已知：A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4），判断与是否共线？解：=（2，1）-（-2，-3）=（4，4）,=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）,4(-8)-4(-8)=0,即与共线，或=-2，与共线.(2)若向量a=(2,-1),b=(x,2),c=(-3,y),且abc,求x,y的值.解法1：abc,b=1a,c=2a.则有解得解法2：ab，4+x=0.x=-4.又ac,2y-3=0y=.类题演练3已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示+.解：=（1，3），=（2，4），（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），+=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得+=m+n，(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),也就是（-12，8）=(m+2n,3m+4n),可得解得+=32-22.变式提升3若点O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且=2,=3,则点A的坐标为_，点B的坐标为_，向量的坐标为_.解：O(0,0)，A（1，2），B（-1，3），=（1，2），=（-1，3），=2(1,2)=(2,4), =3(-1,3)=(-3,9).A(2,4),B(-3,9), =(-3-2,9-4)=(-5,5).答案：（2，4） （-3，9） （-5，5）类题演练4已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标.解析：因为=-=（1，3）-（-2，1）=（3，2）所以=(+)=(-2,1)+(1,3)=(-,2).=+=(-2,1)+(3,2)=(-1,).=+=(-2,1)+(3,2)=(0,).因此M（-,2）,P(-1,),Q(0,).变式提升4在ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（ ）A. B. C. D.解：B(7,5),C(-4,7),BC中点D的坐标为（,）,即D（,6）.A(4,1),=