高中数学 第2章 推理与证明 2_1_2 演绎推理知识导航 苏教版选修2-21

2.1.2 演绎推理知识梳理1.三段论的公式中包含三个命题，第一个命题称为_，它提供了一个_；第二个命题叫_，它指出了一个_，这两个判断结合起来，揭示了_与_的内在联系，从而得到第三个命题_.2.演绎推理的主要形式为_，常用格式为_.知识导学 演绎推理也是我们学习和生活中经常使用的一种推理形式，特别地，数学论证主要通过演绎推理来进行.学习时应结合具体例子体会演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的，因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.“三段论”是演绎推理的一般模式，在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误，所以在学习时，要结合正、反两方面的例子来加以辨别，在以后的学习中弄清每一个环节，使自己的逻辑思维清楚，正确地表述出推证的结论.有些错误比较隐蔽，不易辨别，学习时分清大前提、小前提，并逐一判断，不要犯逻辑错误，切不可循环论证. 仔细体会合情推理与演绎推理的联系和差异，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.疑难突破 三段论推理剖析：三段论中大前提是一个一般性结论，都具有的结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论.要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确，如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼是用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错.再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除.错误的原因为小前提错.为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式.典题精讲【例1】 梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角.图2-1-9已知：在如图2-1-9所示梯形ABCD中,ADBC，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.求证：AC平分BCD，BD平分CBA.思路分析：本题可由三段论逐步推理论证.证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)DAC是等腰三角形，DA、DC为两腰，(小前提)1=2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)1和3是平行线AD、BC被AC截出的内错角，(小前提)1=3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)2和3都等于1，(小前提)2=3.(结论)即AC平分BCD.(4)同理DB平分CBA.绿色通道：命题的推理证明为多个三段论，称为复合三段论.事实上，每一次三段论的大前提可不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也可不再写出，即过程可简写.变式训练：如图2-1-10所示，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点，BFD=A，DEBA.图2-1-10求证：ED=AF.证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)BFD与A是同位角，且BFD=A，(小前提)DFEA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA，且DFEA，(小前提)四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)ED=AF.(结论)【例2】如图2-1-11所示，A、B、C、D四点不共面，M、N分别是ABD和BCD的重心.求证：MN平面ACD.图2-1-11思路分析：证明线面平行，关键是在面内找到一条直线与已知直线平行即可，本题是三段论证明的应用.证明：连结BM、BN并延长分别交AD、DC于P、Q两点，连结PQ.M、N分别是ABD和BCD的重心，P、Q分别为AD、DC的中点.又B，MNPQ.又MN平面ADC，PQ平面ADC，MN平面ACD.绿色通道：本题为一个三段论推理的问题，可以简写，遵循的原则是：如果ab,bc，则ac.变式训练：如图2-1-12所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC平面BDQ.图2-1-12证明：连结AC交BD于O.四边形ABCD是平行四边形,AO=OC.连结OQ,又OQ是APC的中位线,PCOQ.PC在平面BDQ外,OQ平面BDQ,PC平面BDQ.【例3】 证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数.思路分析:可对x的所有不同取值逐一给出证明,即完全归纳推理.证明:当x0时,f(x)各项都是正数,当x0时,f(x)为正数.当0x1时,f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)0.当x1时,f(x)=x3(x3-1)+x(x-1)+10.综上所述f(x)的值恒为正数.绿色通道：有关代数运算推理,也可用三段论表述,注意大前提和小前提必须明确.变式训练：证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.证明:任取x1,x2(-,1,且x1x2.则有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).x1x2,x2-x10.x1,x21,x1x2,x2+x1-20.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).根据三段论,知f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.问题探究问题：自然数平方和公式的推导.导思：探究时我们可直接相加，但有可能出现问题.我们可从失败中吸取教训，不能气馁，继续探究，找到一点有用的信息反复尝试探究，培养自己坚忍不拔的意志，勇于探索.探究：尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和.(1)把自然数的平方表示出来，12=122=(1+1)2=12+21+132=(2+1)2=22+22+142=(3+1)2=32+23+1n2=(n-1)2+2(n-1)+1左右两边分别相加得.S2(n)=S2(n)-n2+2S1(n)-2n+n.等式两边的S2(n)被消去了，无法从中求出S2(n)的值，尝试失败了！(2)从失败中汲取有用信息进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出S2(n)，却求出了S1(n)的表达式，即S1(n)=,它启示我们，既然能用上面的方法求出S1(n)，那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下：13=123=(1+1)3=13+