高中数学 第2章 平面向量 2_1 向量的概念及表示优化训练 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2.1 向量的概念及表示5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.请指出下列哪些量是向量.(1)重力;(2)速度;(3)高度;(4)位移;(5)面积;(6)体积.思路解析:既有大小又有方向的量叫向量，如位移、速度、力等.只有大小没有方向的量叫数量，如高度、面积、体积等.答案:(1)(2)(4)2.如图2-1-1所示，在正六边形ABCDEF中与向量相等的向量有哪些？图2-1-1思路解析:长度相等、方向相同的向量是相等向量或同一向量；相等向量用同向且等长的有向线段表示.解:在正六边形中,|=|=|=|.又AFEBDC且与、方向相同,与相等的向量有、.3.下列说法中正确的是( )A.单位向量都是相等向量 B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量长度等于0 D.共线向量是在一条直线上的向量思路解析:方向相同或相反的非零向量称为平行向量或共线向量.零向量是长度等于0的向量，零向量的方向不确定.长度相等且方向相同的向量是相等向量或同一向量，单位向量的长度都是1，但单位向量的方向未必都相同，只有方向相同的单位向量才是相等向量.答案:C10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.下列命题中正确的是( )A.若|a|=0，则a=0 B.若|a|=|b|，则a=bC.若|a|=|b|，则a、b是平行向量 D.若a与b平行，则a=b思路解析:模为零的向量是零向量，A对；模相等的向量不一定相等或平行，B、C均错；平行向量和相等向量是不同的概念，D错.答案:A2.下列说法中错误的是( )A.零向量的长度为零 B.零向量与任一向量都是共线向量C.零向量没有方向 D.零向量的方向是任意的思路解析:只要是向量就有方向，零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错.答案:C3.如图2-1-2所示，在正ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是( )图2-1-2A.与 B.与C.与 D.与思路解析:向量相等要求模相等，方向相同，因此与都和是相等的向量.答案:B4.如图2-1-3所示，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.图2-1-3(1)用有向线段表示与向量相等的向量；(2)用有向线段表示与向量共线的向量.思路解析:用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.寻找相等向量和共线向量可以从大小和方向两个方面来考虑.解:(1)与向量相等的向量是,;(2)与向量共线的向量是，,.5.有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量.思路解析:向量有两个要素:一是大小，二是方向.两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才称为相等的向量,即a=b就意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.还要注意到零向量与零向量是相等向量.所以判断两个向量是否相等就是看它们的大小是否相等，方向是否相同.解:有下列两种情况，这两个向量一定相等.(1)两个长度相等的向量的方向相同；(2)两个长度相等的向量都为零向量.6.中国象棋中规定:马走“日”字，象走“田”字.如图2-1-4所示，在中国象棋的半个棋盘(是由48个大小相同的正方形组成的)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量,表示马走了“一步”,试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况.图2-1-4思路解析:此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走，可谓“八面威风”.解题时，应做到不重不漏.根据规则，作出符合要求的所有向量.解:如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个).志鸿教育乐园刀法 中国、日本、俄罗斯三国武士比赛，只见俄罗斯的武士拔出刀一挥，把裁判放出的苍蝇拦腰砍为两段，裁判给了他80分.这时日本的武士上来，拔刀后，裁判给了他90分，他把苍蝇的翅膀砍下来了！轮到中国的武士了，只见他拿了两把菜刀一挥，裁判给了他100分，另两个不服就问裁判，裁判把苍蝇捡起来给他们看，说人家中国武士给苍蝇割了个双眼皮！30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.下列结论中正确的是( ) A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段和是同一向量D.有向线段和的大小相等思路解析:向量可以用有向线段表示，但是向量的表示方法是多种多样的，A错；表示一个向量的有向线段有无数个，B错；有向线段和方向不同，它们不是同一个向量，C错；有向线段和的大小相等方向相反，D对.答案:D2.下列物理量:质量;速度;位移;力;加速度;路程;密度;功，其中不是向量的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路解析:本题关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.答案:D3.下列说法中正确的是( )A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度为零C.长度相等的两个向量是相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量思路解析:零向量和任意向量平行，A错；长度为零的向量叫做零向量，B对；相等的向量是长度相等且方向相同的向量，C错；共线向量都可以移动到一条直线上，但是它们不一定在一条直线上，D错.答案:B4.下列说法中不正确的是( )A.向量的长度与向量的长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量其中点必相同思路解析:两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.答案:D5.下列说法:两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；若ab且bc，则ac；当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3思路解析:正确；不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合ab且bc的条件，但结论ac却不能成立；正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形ABDC且AB=DC，即和相等.答案:C6.下列命题:若向量a的模小于向量b的模，则ab;质量、动量、功、加速度都是向量;a与b平行，则a与b方向相同或相反;零向量与任何向量都平行.其中正确命题的个数为_.思路解析:向量不能比较大小，错；质量、功是标量，不属于向量，错；没有考虑零向量，不正确；零向量的方向是任意的，所以它与任意向量平行，C对.答案:17.下列命题:单位向量都相等；单位向量都共线；共线的单位向量必相等；与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.其中正确命题的个数为_.思路解析:单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，错；同理错；共线的单位向量有可能方向相反，错；与一非零向量共线的单位向量有两个，它们与这个向量方向相同或相反，错.答案:08.如图2-1-5所示，D、E、F分别是等腰RtABC的各边中点，BAC=90.图2-1-5(1)分别写出图中与向量、长度相等的向量；(2)分别写出图中与向量、相等的向量；(3)分别写出图中与向量、共线的向量.思路解析:长度相等的向量，方向可以是不同的，因此它们不一定是相等向量，而相等向量必须是长度相等且方向相同，即通过平移可以重合的向量.共线向量也是平行向量，这与几何中线段的共线不同.解:(1)|=|=|=|=|=|；|=|=|.(2)=;=.(3);.9.已知飞机从甲地按北偏东30的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西偏南45或南偏西45方向飞行1 000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?思路解析:本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.解:根据所给条件作图(如右图所示)，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知，ABC是正三角形，AC=2 000 km.又ACD=45，C