高中数学 第2章 平面向量 2_3 向量的坐标表示例题与探究 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示例题与探究 苏教版必修4典题精讲 例1 如图2-3-2，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-3-2思路分析：本题要求用c、d表示和，所以可以将c、d看作基底，也就变成了用基底表示和两个向量.解：设=a，=b，由M、N分别为DC、BC的中点，得=b，=a.从ABN和ADM中，得 即=(2d-c)，=(2c-d). 绿色通道：从解答本题的过程来看，本题策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用代换=a，=b；(2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c、d表示、困难，反过来改用、表示c、d，然后将和看成是未知量，利用方程组解得和. 变式训练 如果e1、e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法错误的有( )e1+e2 (、R)可以表示平面内的所有向量对于平面中的任一向量a，使a=e1+e2的实数、有无数多对若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线，则有且只有一个实数，使1 e1+1 e2=(2 e1+2 e2) 若实数、使e1+e2=0，则=0A. B. C. D.思路解析：由平面向量基本定理,知正确，而错误.当1e1+1e2=(2e1+2e2)，当1=2=1=2时，对任意实数，均有1e1+1e2=(2e1+2e2).因此，也是错误的.答案：B 例2 已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立；(2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)、f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.解：(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2). f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立.(2)f(a)=(1,21-1)=(1,1)，f(b)=(0,20-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y)，则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).y=p,2y-x=q.x=2p-q，即向量c=(2p-q,p). 绿色通道：本题是向量的坐标运算与函数知识相结合的问题，题目的难度并不大，主要考查向量的坐标运算和函数的基础知识，但却充分体现了坐标运算的代数性.为运用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题. 变式训练 已知ABCD中，A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，则D的坐标为( )A.(-3，-5) B.(-3，5)C.(5，-5) D.(-2，5)思路解析：设D(x,y)，四边形ABCD是平行四边形，=.又=-=(4,0),=-=(1-x,-5-y)，1-x=4且-5-y=0.x=-3,y=-5.答案：A 例3 如图2-3-3所示，在ABC中，=a,=b，=c，=a(01), =b(00).xi+yj-8i=-pj.x=8.第二次船速为16i，船上人测得的风速为-q(i+j)(q0).xi+yj-16i=-q(i+j).x-16=-q=y.y=-8.风速为8i-8j，即风的方向为东南方向，大小为千米/时.问题探究 问题试探究命题“如果a=(a1,a2),b=(b1,b2)，则a1b2-a2b1=0ab”成立. 导思：若a、b其中一个为零向量，则零向量与任何向量共线，显然成立，若a、b均不为零向量，可借助平面向量基本定理证明结合向量的直角坐标运算来证之. 探究：(1)若a1b2-a2b1=0.若b1=b2=0即b=0，此时ab成立；若b1=0，b20，则a1=0，此时a=(0,a2)，b=(0,b2)，ab成立；若b10且b20，则由a1b2-a2b1=0得，令=，即a1=b1,a2=b2，a=(a1,a2)=(b1,b2)=(b1,b2)=b.ab.因此，若a1b2-a2b1=0，则ab.(2)若ab.若a、b其中一个为零向量，不妨设b=(0,0)，则a1b2-a2b1=0成立；若a、b均不为零向量，因为ab，则存在唯一实数使a=b,即(a1,a2)=(b1,b2)=(b1,b2),即a1=b1，a2=b2 .两式的两边分别乘以b2、b1,得a1b2=b1b2,a2b1=b2b1.a1b2-a2b1=0.因此，若ab，则a1b2-a2b1=0.综上可得a1b2-a2b1=0ab.配合各任课老师