高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2_4 最大值与最小值问题，优化的数学模型学业分层测评 新人教b版选修4-5

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型学业分层测评 新人教B版选修4-5 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若x，y是正数，则的最小值是()A.3B.C.4D.【解析】由题意知：2224，等号成立的条件是不矛盾，故“”能成立.【答案】C2.设abc0，则2a210ac25c2的最小值是() 【导学号：38000047】A.2B.4C.2D.5【解析】原式a(ab)aba210ac25c2a(ab)ab(a5c)22204.当且仅当a(ab)1，ab1，a5c0时取等号，即当a，b，c时等号成立.【答案】B3.若x，y，z是非负实数，且9x212y25z29，则函数u3x6y5z的最大值为()A.9B.10C.14D.15【解析】u2(3x6y5z)2(3x)2(2y)2(z)212()2()29981，当且仅当x，y，z1时等号成立，u9.【答案】A4.设实数x1，x2，xn的算术平均值是，a(aR)，并记p(x1)2(xn)2，q(x1a)2(xna)2，则p与q的大小关系是()A.pqB.pqC.pqD.不确定【解析】设函数f(x)(x1x)2(x2x)2(xnx)2，则f(x)nx22(x1x2xn)x(xxx).当x时f(x)取最小值，故p1)的最小值为_.【解析】y(x1)5259.当且仅当x12，x1时取等号.【答案】97.已知a0，b0，c0，且abc1，对于不等式：abc；27；abbcca.其中正确的不等式的序号是_. 【导学号：38000048】【解析】a，b，c均大于0，1abc3，0abc，27.当且仅当abc时等号成立.从而正确，也正确.又22(abc)2(a2b2)(b2c2)(c2a2)4ab4bc4ca2ab2bc2ca4ab4bc4ca6(abbcca)，0abbcca，当且仅当abc时等号成立，正确.【答案】8.函数y2的最大值为_.【解析】利用柯西不等式进行变形，得到()212()2()2(2)2，即33(2)2，当且仅当x0时等号成立，23.【答案】3三、解答题9.某单位要建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米1 200元，房屋侧面的造价为每平方米800元，屋顶的总造价为5 800元，如果墙高3米，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？【解】设房屋正面长为x米，则侧面长为米.于是总造价W35 8003 6005 8003 60025 80034 600(元).等号成立xx4.答：房屋正面长为4米，侧面长为3米时，房屋有最低总造价为34 600元.10.经过长期预测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y(v0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(精确到0.1千辆/小时)?(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】(1)依题意y，当且仅当v，即v40时等号成立.ymax11.1(千辆/小时).当v40千米/小时时，车流量最大，约为11.1千辆/小时.(2)由条件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0.解得25v64.所以，如果在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在2564千米/小时.能力提升1.爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1v2)，乙上下山的速度都是(v1v2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间t1，t2的关系为()A.t1t2B.t1t2C.t1t2D.不能确定【解析】设S为上山路程，则下山路程亦为S.t2，t2，t1t2.【答案】A2.某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼【解析】此人不满意程度越小，楼层越好，设yn，可求出此函数的单调减区间为(0,2)，增区间为2，)，当n2时，y6，当n3时，y5，因此3层楼不满意度最少.【答案】C3.已知0x，则x(12x)的最大值是_. 【导学号：38000049】【解析】由0x，知12x0，x(12x)2x(12x)，当且仅当2x12x，即x时等号成立.【答案】4.设函数f(x)x，x0，).(1)当a2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0a0，0，x12.当且仅当x1，即x1时，f(x)取最小值.此时，f(x)min21.(2)当0a1时，f(x)x11，若x12，则当且仅当x1时取等号，此时x1x20，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1x20，x1x20，x111，x211，(x11)(x21)1，而0a1，0，f(x)在0，)上单调递增，x0时，f(x)mina