高中数学 第2章 推理与证明 2_1_3 推理案例赏析知识导航 苏教版选修2-21

2.1.3 推理案例赏析知识梳理 数学命题推理有合情推理和演绎推理，_和_是常用的合情推理.从推理形式上看，_是由部分到整体，个别到一般的推理，_是由特殊到特殊的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，_的结论不一定正确，有待于进一步证明，_在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.知识导学 归纳与类比这两种合情推理都能帮助我们发现新的数学命题和新的数学规律，但得到的结论不一定正确，有待于进一步证明或验证.而演绎推理只要大、小前提都正确，结论就正确.所以我们常把两者结合起来，用合情推理来发现数学命题，用演绎推理进行系统的论证，二者相辅相成，从而推动数学的不断发展.学习时，要从具体例子来深刻体会合情推理与演绎推理之间的这种联系和差异，我们不仅要学会推理证明，也要学会猜想.疑难突破 “推理”引发的思考.剖析：数学要进一步得到发展，关键是如何在已有知识的基础上发现新的数学问题.我们可以用归纳和类比两种办法，大胆猜想、归纳，小心比较，作出命题,推动数学的发展，要注意观察、总结、比较、验证、论证相结合.由此可以看出数学发现活动是一个探索创造的过程，这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程，合情推理是富有创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用. 数学问题无穷无尽，如何去探讨发展是我们现代人必须要做的，我们既要运用好原有的知识，但也不能维持原状，要有所发展，那么怎样去发展？也不是没有根据的乱想，我们可通过大量的事实，观察、归纳、类比原有的知识来合情推理我们所需要的结论，学会尝试，不怕失败.典题精讲【例1】 已知an为等差数列，首项a11,公差d0,n1且nN*.求证：lgan+1lgan-1(lgan)2.思路分析：对数之积不能运算，必须由均值不等式转为对数之和进行运算.证明：an为等差数列，an+1+an-1=2an.d0,an-1an+1=(an-d)(an+d)=an2-d2an2.a11,d0,an=a1+(n-1)d1.lgan0.lgan+1lgan-1=lg(an-1an+1)2lgan22=(lgan)2,即lgan+1lgan-1(lgan)2.绿色通道：对于证明的不等式要分析，结合对数的性质和运算及均值不等式，给出综合法证明.变式训练：已知a0且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1).求证：PQ.证明：当a1时，a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1);当0a1时，a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1),综上PQ.【例2】 已知数列an,其中a2=6,且=n.(1)求a1、a3、a4；(2)写出an的一个通项公式；(3)设数列bn是等差数列，bn=(c为非零常数).若Sn=b1+b2+bn,求.思路分析：本题已知递推关系，可写出数列的前几项，猜想an，进一步作答.解：(1)a2=6,=1,a1=1.又=2,=3,a3=15,a4=28.(2)a1=11,a2=23,a3=35,a4=47.猜想an=n(2n-1).(3)bn为等差数列，2b2=b1+b3.c0,c=.bn=2n.Sn=b1+b2+bn=n(n+1).=(1-)=1.绿色通道：在研究数列问题时，常通过前n项，观察、归纳、猜想出an、Sn的表达式.变式训练:在数列an中，a1=1,Sn、Sn+1、2S1成等差数列(不必证明).(Sn表示an的前n项和)则S2、S3、S4分别为_，由此猜想Sn=_.思路解析：由Sn、Sn+1、2S1成等差数列，2Sn+1=Sn+2S1.S1=a1=1,2Sn+1=Sn+2.当n=1、2、3时，S2=,S3=,S4=.猜想Sn=.答案： 【例3】 设k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)=f(k)+_.思路解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱与之不相邻的k-2条侧棱可构成k-2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.f(k+1)=f(k)+k-2+1=f(k)+k-1.答案：k-1绿色通道：注意几何图形参数在由k变到k+1时，发生了哪些变化，增加了多少.变式训练：凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+_.答案：问题探究问题：平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条或三条以上过同一点，设这n条直线将平面分割成的区域为f(n),探求：f(n).导思：平面内的n条直线研究起来比较抽象、陌生、困难，我们可从n的最少取值开始，逐一探索研究，直至找出规律，发现规律来猜测.探究：当n=1时，一条直线将平面一分为二，f(1)=2.当n=2时，这两条直线不平行，只相交，将平面分为4份，f(2)=4.当n=3时，平面内这三条直线两两相交，且不共点，将平面分为7份，实质上是在两条直线的基础上进一步分割.设l1、l2相交于P1，将平面分为S1、S2、S3、S4四个区域，如图2-1-16所示，若l3不过P1，与l1、l2分别交于P2、P3，则l3又将S2、S3、S4都一分为二，共6个区域，再加上S1共7个区域，比n=2时多了3个区域.图2-1-16 若n=4时，设l4不过P1、P2、P3，分别与l1、l2、l3交于P4、P5、P6，又将l1、l2、l3的四个区域一分为二，即比f(3)多