高中数学 第三章 推理与证明 3_2 数学证明知识导航 北师大版选修1-21

2 数学证明自主整理1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过_严格证明.2._是最常见的一种演绎推理形式.第一段讲的是一般性道理,称为_;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_.高手笔记1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为:大前提:M是P,小前提:S是M,结论:S是P.2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.名师解惑三段论推理 剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之:“全体概括个体.” 三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.讲练互动【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在如图所示的梯形ABCD中,ADBC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.求证:AC平分BCD,BD平分CBA.分析：本题可由三段论逐步推理论证.证明：(1)等腰三角形两底角相等, (大前提)DAC是等腰三角形,DA、DC为两腰, (小前提)1=2. (结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等, (大前提)1和3是平行线AD、BC被AC截出的内错角, (小前提)1=3. (结论)(3)等于同一个量的两个量相等, (大前提)2和3都等于1, (小前提)2=3, (结论)即AC平分BCD.(4)同理DB平分CBA.绿色通道 命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论.事实上,每一次三段论的大前提可不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可不再写出,即过程可简写.变式训练1.如图所示,D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点,BFD=A,DEBA.求证:ED=AF.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)BFD与A是同位角,且BFD=A,(小前提)DFEA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DEBA,且DFEA,(小前提)四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)ED=AF.(结论)【例2】在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD(如图).求证:ABCD为平行四边形.写出三段论形式的演绎推理.分析：原题可用符号表示为(AB=CD)且(BC=AD)ABCD. 用演绎推理来证明论题的方法,也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在此题中的个别特殊事实. 为了证明这个命题为真,我们只需在假设前提(AB=CD且BC=AD)为真的情况下,以已知公理、已知定义、已知定理为依据,根据推理规则,导出结论ABCD为真.证明：(1)连结AC,(公理)(2)(AB=CD)且(BC=AD),(已知)AC=AC,(公理)(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC).(3)平面几何中的边边边定理是:有三边对应相等的两个三角形全等.这一定理相当于:对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相等,则这两个三角形全等.(大前提)如果ABC和CDA的三边对应相等.(小前提)则这两个三角形全等.(结论)符号表示:(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC)ABCCDA.(4)由全等形的定义,可知全等三角形的对应角相等.这一性质相当于:对于任意两个三角形,如果它们全等,则它们对应角相等.(大前提)如果ABC和CDA全等,(小前提)则它们的对应角相等.(结论)用符号表示,就是ABCCDA(1=2)且(3=4)且(B=D).(5)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.(平行线判定定理)(大前提)直线AB、DC被直线AC所截,若内错角1=2,1=2.(小前提)(已证)ABDC,BCAD.(ABDC)且(BCAD).(结论)(同理)(6)如果四边形的两组对边分别平行,那么这个四边形是平行四边形.(平行四边形定义)(大前提)在四边形ABCD中,两组对边分别平行,(小前提)四边形ABCD为平行四边形.(结论)符号表示为ABDC,且ADBC四边形ABCD为平行四边形.绿色通道 像上面这样详细地分析一个证明的步骤,对于养成严谨的推理习惯,发展抽象思维能力,是有一定的积极作用,但书写起来非常烦琐,一般可以从实际出发省略大前提或小前提,采用简略的符号化写法,比如,本例题的证明,通常可以这样给出:证明:连结AC.ABCCDA四边形ABCD为平行四边形.变式训练2.如图所示为三个拼在一起的正方形,求证:+=.证明:根据题意0,0,0+.又tan=,tan=,tan(+)=1.0+,在(0,)内正切值等于1的角只有一个.+=.【例3】如图所示,A、B、C、D四点不共面,M、N分别是ABD和BCD的重心.求证:MN平面ACD.分析：证明线面平行,关键是在面内找到一条直线与已知直线平行即可,本题是三段论证明的应用.证明：连结BM、BN并延长分别交AD、DC于P、Q两点,连结PQ.M、N分别是ABD和BCD的重心,P、Q分别为AD、DC的中点.又=2=,MNPQ.又MN平面ADC,PQ平面ADC,MN平面ACD.绿色通道 本题为一个三段论推理的问题,可以简写,遵循的原则是:如果ab,bc,则ac.变式训练3.如图所示,P是ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证:PC平面BDQ.证明:连结AC交BD于O,四边形ABCD是平行四边形,AO=OC.连结OQ,又OQ是APC的中位线,PCOQ.PC在平面BDQ外,OQ平面BDQ,PC平面BDQ.【例4】证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数.分析：可对x的所有不同取值逐一给出证明,即完全归纳推理.证明：当x0时,f(x)各项都是正数,当x0;当x1时,f(x)=x3(x3-1)+x(x-1)+10.综上所述,f(x)的值恒为正数.绿色通道 有关代数运算推理,也可用三段论表述,注意大前提和小前提必须明确.变式训练4.证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.证明:任取x1、x2(-,1,且x1x2.则有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).x10.x1、x21,x1x2,x2+x1-20.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).根据三段论,知f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.教材链接教材第59页例2中的推理依据是什么?大前提:a、bR,(a-6)20.小前提:a1、a2、b1、b2为实数,(a1b2-a2b1)20.结论:a12b22-2a1b2a2b1+a22b120.大前提:a-cb,则ab+c.小前提:a12b22-2a1b2a2b1+a22b120.结论:2a1b2a2b1a12b22+a22b12.大前提:ab,则a+cb+c.小前提:2a1b2a