高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2_2 复数的乘法与除法教材基础 北师大版选修2-21

2.2 复数的乘法与除法高手支招1细品教材一、复数的乘法1.复数乘法的运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.显然,两个复数的积仍然是一个复数.【示例1】 计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).解:先将(-2-i)(3-2i)(-1+3i)前面两式相乘,得(-8+i)(-1+3i),再将所得积与最后一式相乘,得5-25i.状元笔记 复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在运算过程中要把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并.【示例2】 计算(a+bi)(a-bi).思路分析:利用复数乘法法则直接得出结果.解:(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2.2.复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律:即对任何z1,z2,z3C,有:(1)交换律:z1z2=z2z1证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=a2a1+a2b1i+a1b2i+b2b1i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z1z2=z2z1.(2)结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3)证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,则(z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(a1b2+a2b1)b3+(a1a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3i=（a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-（b1b2b3-b1a2a3-b2a1a3-b3a1a2)i;z1(z2z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2a3-b2b3)+(a3b2+a2b3)i=(a2a3-b2b3)a1-(a3b2+a2b3)b1+(a2a3-b2b3)b1+(a3b2+a2b3)a1i=(a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-(b1b2b3-b1a2a3-b2a1a3-b3a1a2)i.(3)乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明:设z1=a1+b1i,z2=a2b2i,z3=a3+b3i，则z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)iz1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)i3.负数的平方根由于(-i)2=i2=-1,这表明,i和-i是-1的两个平方根,或者说,方程x2+1=0有两个根i和-i,这样,负数就可以开平方了.4.共轭复数(1)我们把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数 z=a+bi的共轭复数记作,即=a-bi.【示例】 (2005北京春季高考,理1)i-2的共轭复数是( )A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i思路分析:本题考查复数及共轭复数的概念,应首先分清谁为虚部,谁为实部;其次,互为共轭的复数实部相等,虚部互为相反数.答案:D(2)当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=a,也就是说,实数的共轭复数仍是它本身.反过来也成立,即如果复数z的共轭复数仍是它本身,那么zR.(3)共轭复数的性质:两个共轭复数z,的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即z=|z|2=|2=a2+b2;=z1+z2;=;（）=（z20).5.复数的乘方(1)复数的乘方是相同复数的积.根据复数乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对任何z1，z2，z3C及m,nN*,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.【示例】 设=+i,求证:(1)1+2=0;(2)3=1.思路分析:要证明1+2=0和3=1,须先求出2,再由2求出3.证明：(1)因为2=（+i)2=-i-=-i,所以,1+2=1+（+i）+（-i）=0.(2)32=(-i)(+i)=( )2-(i)2=+=1.(2)在计算复数的乘方时,要用到虚数单位i的乘方,对于i的正整数指数幂,易知:i1=i,i2=-1,i3=i2i=-i,i4=(i2)2=1.一般地,如果nN*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.【示例】 复数z=1+i+i2+i3+i2006的值为( )A.0 B.1 C.i D.1+i思路分析:本题初看起来是一个等比数列的求和,故按等比数列求和公式可解之;然而,本题除此法外,还有一种简捷解法,即利用i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,将其中的连续的4倍数项去掉,然后化简.由于z=1+i+i2+i3+i2 006共有2 007项,故将后面的2 004项去掉,余下前三项,即z=1+i+i2+0=i.答案:C二、复数的除法1.复数除法的定义我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di0)的复数x+yi(x,yR)叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作或(a+bi)(c+di).状元笔记 复数除法运算是乘法运算的逆运算;复数集合对乘法、除法(除数不为零)运算封闭,即两复数乘、除运算的结果仍为复数.进行复数除法运算时,通常进行分母实数化,即先将两个复数相除写成分数形式,然后将分子与分母同时乘以分母的共轭复数,再把结果化简,这样可使运算简化.2.复数除法的运算一般地,我们有=.由于c+di0,所以c