高中数学 第1章 导数及其应用 1_2_1 常见函数的导数知识导航 苏教版选修2-21

1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数知识梳理(1)C=_(C为常数); (2)(xn)=_;(3)(sinx)=_; (4)(cosx)=_;(5)(ex)=_; (6)(ax)=_;(7)(lnx)=_; (8)(logax)=_;(9)(x)=_.知识导学 由导数定义给出了求导数的最基本方法,因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算.这显然比较麻烦,甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.疑难突破 通过几个实例归纳出y=xn的导数的形式;熟记基本初等函数的求导公式.剖析:通过对函数y=kx+b,y=x2,y=x3,y=及y=几种函数导数的推导过程,总结出y=xn的导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯. 正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点,只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及,但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查.典题精讲【例1】 (1)求曲线y=sinx在点P()处切线的斜率k;(2)物体运动方程为s=,求当t=5时瞬时物体运动的速度v.思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.解:(1)(sinx)=cosx,当x=时,k=.(2)s=()=t3,当t=5时,v=125.变式训练：已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.解:y=(x2)=2x,设切点坐标为M(x0,y0)，则 当x=x0时，切线斜率k=2x0,因为PQ的斜率为=1.又切线平行于直线PQ,所以k=2x0=1，即x0=.所以切点M().所求切线方程为,即4x-4y-1=0.【例2】 求曲线y=2x2-1的斜率为4的切线方程.思路分析：导数反映了函数在某一点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率.由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程.解:设切点为P(x0,y0)，则y=(2x2-1)=4x.当x=x0时,4=4x0,x0=1;当x0=1时,y0=1,切点P的坐标为(1,1).故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.绿色通道：联系实际，深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值.变式训练：求过曲线y=cosx上点P(),且与过这点的切线垂直的直线方程.思路分析：首先要求切线的斜率.解:因为y=cosx,所以y=(cosx)=-sinx.曲线在点P()处的切线斜率是,所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为.所以所求直线方程为,即=0.【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点.O是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使ABP面积最大.思路分析：依题意|AB|为定值,只要P点到AB的距离最大,SABP就最大,问题转化为在抛物线的上求一点P到直线AB的距离最大.由导数的几何意义,知P为抛物线上与AB平行的切线的切点,求出P点坐标即可,也可用解析几何知识求解.解法一:如图1-2-1所示，|AB|是定值,PAB的面积最大.只需P到AB的距离最大,即只需点P是抛物线上平行于AB的切线的切点.设P(x,y)，由图知点P在x轴下方的图象上,所以.所以y=.图1-2-1因为kAB=,所以,x=4.又y2=4x(y0)时,y=-4，所以P(4,-4).解法二:设P().因为|AB|为定值,要使PAB的面积最大,只需P到直线AB:x+2y-4=0的距离最大.设距离为d,则d=,y0().当y0=-4时,d最大.此时PAB的面积最大,所以P(4,-4).绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求P点的坐标,注意配方法的运用.变式训练：已知抛物线c1：y=x2+2x和c2：y=-x2+a.如果直线l同时是c1和c2的切线,称l是c1和c2的公切线.公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a取什么值时,c1和c2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.(2)若c1和c2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线c1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)= (2x1+2) (x-x1),即y=(2x1+2)x-x12. 函数y=-x2+a的导数为y=-2x,曲线c2在点Q(x2,-x22+a)处的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a. 如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程，所以消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0.若判别式=4-42(1+a)=0,即a=,解得x1=.此时点P与Q重合，即当a=时，c1和c2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为.(2)证明：由(1)知，当a时，c1和c2有两条公切线.设一条公切线上的切点为P(x1,y1), Q(x2,y2),其中P在c1上，Q在c2上，则有x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a= -1+a,线段PQ的中点坐标为().同理，另一条公切线段PQ的中点坐标也是(),所以公切线段PQ和PQ互相平分.问题探究问题：函数y=f(x)在x0处的导数是如何定义的?若x0(a,b),y=f(x)在x0处可导,则y=f(x)在(a,b)内处处可导吗?导思：函数y=f(x)在x0处可导即当x0(a,b)时,y=f(x)在x0处可导.与y=f(x)在(a,b)内处处可导是两码事.函数y=f(x)在(a,b)内处处可导,必须满足对任意的x0(a,b)时,y=f(x)在x0处可导.探究：自变