高中数学 第二章 概率 2_5 随机变量的均值和方差课堂导学 苏教版选修2-31

高中数学 第二章 概率 2.5 随机变量的均值和方差课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以的可能值为1,2,3,4,5,易知P（=1）=0.2,P(=2)= =0.2,P(=3)= =0.2,P(=4)= =0.2,P(=5)= =0.2.所求的概率分布为：12345P0.20.20.20.20.2E=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3,D=(1-3)20.2+(2-3)20.2+(3-3)20.2+(4-3)20.2+(5-3)20.2=2.温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式D=E2-（E）2求.二、离散型随机变量的方差的应用【例2】 A、B两台测量仪器测量一长度为120 mm的工件时分布列如下：A.1181191201211220.060.140.600.150.05B.1181191201211220.090.150.520.160.08解析：设随机变量1表示用A仪器测量此产品长度的数值，随机变量2表示用B仪器测量此产品长度的数值，从而有E1=1180.06+1190.14+1200.60+1210.15+1220.05=119.99，D1=(118-119.99)20.06+(119-119.99)20.14+(120-119.99)20.60+(121-119.99)20.15+(122-119.99)20.05=0.729 9，E2=1180.09+1190.15+1200.52+1210.16+1220.08=119.99，D2=(118-119.99)20.09+(119-119.99)20.15+(120-119.99)20.52+(121-119.99)20.16+(122-119.99)20.08=0.9899.由此可知，E1=E2，D1D2.A仪器测量结果波动较小，表明A仪器质量较好.温馨提示本题若仅由E1=E2，易产生两台仪器性能一样好的错觉.这表明在实际问题中仅靠期望值不能完全反映随机变量的分布特征，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差）.三、离散型随机变量的方差的最值【例3】 若随机事件A在1次试验中发生的概率为P(0P1),用随机变量表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差D的最大值;（2）求的最大值.解析：随机变量的所有可能取值为0,1，并且有P（=1）=P，P（=0）=1-P，从而E=0(1-P)+1P=P,D=(0-P)2(1-P)+(1-P)2P=P-P2.(1)D=P-P2=-(P2-P+14)+14=-(P-12)2+14，0P1,当P=时，D取得最大值，最大值为.(2),0P1,2P +.当2P=,时，等号成立.因此，当时，取得最大值.类题演练 1已知某离散型随机变量X服从的分布列为X10PPq且0P1，q=1-P,求DX.解析：由题目知X服从两点分布，所以E（X）=p,D(X)=(1-p)2p+(0-p)2q=q2p+p2q=pq.这表明在两点分布试验中，离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq.变式提升 1已知某离散型随机变量X服从下面的二项分布：P（X=k）= (k=0,1,2,3,4),求E（X）和D（X）.解析：根据题目知道离散型随机变量X服从参数n=4和p=0.1的二项分布，所以E（X）=np=40.1=0.4,D(X)=npq=40.10.9=0.36.类题演练 2一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解析：设该学生在这次数学测验中选择正确答案的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y=4X.由题知XB（25,0.6）,EX=250.6=15,DX=250.60.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42DX=166=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96.变式提升 2一个数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，每题选择正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解析：用X表示这个学生在这次数学测验中选择了正确答案的选择题个数，Y表示成绩，则XB（25,0.8）,故EX=250.8=20,DX=250.80.2=4,E(Y)=E(4X)=4EX=420=80,D(Y)=D(4X)=16DX=164=64，即此学生在这一次测验中的成绩的期望和方差分别是80和64.类题演练 3设一随机试验的结果只有A和，且P（A）=P, 令随机变量则X的方差DX等于（）A.PB.2P(1-P)C.-P(1-P)D.P(1-P)解析：EX=0（1-p）+1p=p,DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2=p(1-p).答案：D变式提升 3若X是离散型随机变量，P（X=X1）=,P(X=X2)=,且X1X2,又已知E