高考数学一轮复习 第9章 计数原理概率随机变量及其分布 第8节 离散型随机变量的均值与方差教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第八节离散型随机变量的均值与方差考纲传真1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差：称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n，p)E(X)npD(X)np(1p)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ()(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A.B4C1D1AE(X)101，则E(Y)2E(X)33.3设随机变量的分布列为P(k)(k2,4,6,8,10)，则D()等于()A8B5C10D12AE()(246810)6，D()(4)2(2)20222428.4同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_. 【导学号：51062371】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P12.又XB，成功次数X的均值E(X)2.5若XB(n，p)，且E(X)6，D(X)3，则P(X1)_.E(X)np6，D(X)np(1p)3，p，n12，则P(X1)C113210.离散型随机变量的均值、方差(2017绍兴诊断)某人在如图981所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：图981X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望解(1)所种作物总株数N1234515，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC36种，4分选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3328种.4分故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为.6分(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列因为P(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)，所以只需求出P(Xk)(k1,2,3,4)即可.9分记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k1,2,3,4)，则n12，n24，n36，n43.由P(Xk)得P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).12分故所求Y的分布列为Y51484542P14分所求的数学期望为E(Y)5148454246.15分规律方法1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算2注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用变式训练1一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图982所示图982将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X). 【导学号：51062372】【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.2分因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.7分(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，10分分布列为X0123P0.0640.2880.4320.21613分因为XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.15分与二项分布有关的均值、方差(2017杭州学军中学联考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差解(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意知A1与A2相互独立，A1 与A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2，CB1B2.3分因为P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P()P()P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2).6分故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).9分(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.12分故X的分布列为X0123P13分X的数学期望为E(X)3.随机变量X的方差D(X)3.15分规律方法1.求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果B(n，p)，则用公式E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量2有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)同样还可求出D(ab)变式训练2(2017台州诊断)甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)解(1)依题意得，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.1分设此数列为an，易知a140，an10n30，Sn.令300，3分解得n12(舍去)或n5，所以总决赛共比赛了5场则前4场比赛的比分必为13，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C4.6分(2)随机变量X可能的取值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490，P(X220)24，P(X300)C4，P(X390)C5，P(X490)C6，9分所以X的分布列为X220300390490P12分所以X的均值为E(X)220300390490377.5(万元).15分均值与方差在决策中的应用有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：X甲2829303132P0.10.150.50.150.1X乙2829303132P0.130.170.40.170.13其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量解由题意，得E(X甲)280.1290.15300.5310.15320.130，E(X乙)280.13290.17300.4310.17320.1330.又D(X甲)(2830)20.1(2930)20.15(3030)20.5(3130)20.15(3230)20.11.1，D(X乙)(2830)20.13(2930)20.17(3030)20.4(3130)20.17(3230)20.131.38，所以E(X甲)E(X乙)，D(X甲)D(X乙)，故甲种棉花的质量较好规律方法1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差2依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释变式训练3某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【导学号：51062373】解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150P2分所以E(X1)300(150)200(万元).4分若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X25003000P6分所以E(X2)500(300)0200(万元).8分D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.12分所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.15分思想与方法求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解易错与防范1理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态2注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)易错易混3对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差课时分层训练(五十九)离散型随机变量的均值与方差A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5B6C7D8C由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4，E(X)40.5a0.190.46.3，a7.2设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为()A1a,4B1a,4aC1,4D1,4aAE(y)E(x)a1a，D(y)D(x)4.3某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数XB，则E(2X1)() 【导学号：51062374】A.B.C3D.D因为XB，所以E(X)，则E(2X1)2E(X)121.4已知随机变量X服从二项分布，且E(X)2.4，D(X)1.44，则二项分布的参数n，p的值为()An4，p0.6Bn6，p0.4Cn8，p0.3Dn24，p0.1B由二项分布XB(n，p)及E(X)np，D(X)np(1p)得2.4np，且1.44np(1p)，解得n6，p0.4.5罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为()A.B.C.D.B因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则XB，D(X)4.二、填空题6已知随机变量X服从二项分布B(n，p)若E(X)30，D(X)20，则p_. 【导学号：51062375】由E(X)30，D(X)20，可得解得p.7(2017舟山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量的均值E()_(结果用最简分数表示)随机变量只能取0,1,2三个数，因为P(0)，P(1)，P(2).故E()12.8设X为随机变量，XB，若随机变量X的均值E(X)2，则P(X2)等于_由XB，E(X)2，得npn2，n6，则P(X2)C24.三、解答题9(2017温州模拟)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元当供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，nN*)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件，nN*)，列表如下：日需求量(件)89101112频数(天)91115105若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及均值. 【导学号：51062376】解(1)当1n10时，y50n(10n)(10)60n100；2分当n10时，y5010(n10)3030n200，所以y7分(2)由(1)知日需求量为8件、9件、10件、11件、12件的利润分别为380元、440元、500元、530元、560元.9分利润X的分布列为X380440500530560P12分利润X的均值为E(X)380440500530560(元).15分10(2017嘉兴质检)某校高二年级开设a，b，c，d，e五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a课程，不选b课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程(1)求甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率；(2)用X表示甲、乙、丙选中c课程的人数之和，求X的分布列和数学期望解(1)设“甲同学选中c课程”为事件A，“乙同学选中c课程”为事件B，依题意P(A)，P(B).3分因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B).6分(2)设事件C为“丙同学选中c课程”则P(C).7分X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)P()，P(X1)P(A)P(B)P(C)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，12分随机变量X的分布列为X0123P所以E(X)0123.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)3，则D(X)()A.B.C.D.B由题意，XB.又E(X)3，m2.则XB，故D(X)5.2随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则D()_.设P(1)a，P(2)b，则解得所以