七年级数学下册 9_4 乘法公式同步练习4 （新版）苏科版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争9.4 乘法公式一选择题1下列运算正确的是（）Ax3+x2=x5 Ba3a4=a12C（x3）2x5=1 D（xy）3（xy）2=xy2若x2+4x4=0，则3（x2）26（x+1）（x1）的值为（）A6 B6 C18 D303若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（）Am2 B m2 C m2 D m24下列运算正确的是（）Aa2+3a2=4a4B3a2a=3a3C（3a3）2=9a5D（2a+1）2=4a2+15计算 （2x+1）（x1）（x2+x2）的结果，与下列哪一个式子相同？（）Ax22x+1 Bx22x3 Cx2+x3 Dx236运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（）Ax2+9 Bx26x+9 Cx2+6x+9 Dx2+3x+97下列运算结果正确的是（）Aa+2b=3ab B3a22a2=1Ca2a4=a8 D（a2b）3（a3b）2=b8下列计算正确的是（）A（x+y）2=x2+y2 B（xy）2=x22xyy2C（x+1）（x1）=x21 D（x1）2=x21二填空题9若a+b=3，ab=2，则（ab）2=10已知a+b=8，a2b2=4，则ab=11如果x2+mx+1=（x+n）2，且m0，则n的值是12观察下列各式的规律：（ab）（a+b）=a2b2（ab）（a2+ab+b2）=a3b3（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4可得到（ab）（a2016+a2015b+ab2015+b2016）=13观察下列等式：1+2+3+4+n=n（n+1）；1+3+6+10+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+20+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；则有：1+5+15+35+n（n+1）（n+2）（n+3）=14已知x2+x5=0，则代数式（x1）2x（x3）+（x+2）（x2）的值为15若（7xa）2=49x2bx+9，则|a+b|=16已知（a+b）2=7，（ab）2=4，则ab的值为17已知2a2+2b2=10，a+b=3，则ab=18若（m2）2=3，则m24m+6的值为19观察下列各式及其展开式：（ab）2=a22ab+b2（ab）3=a33a2b+3ab2b3（ab）4=a44a3b+6a2b24ab3+b4（ab）5=a55a4b+10a3b210a2b3+5ab4b5请你猜想（ab）10的展开式第三项的系数是20图（1）是一个长为2a，宽为2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是21如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为，则方格纸的面积为22仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出（a+b）4展开式所缺的系数：（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+a2b2+4ab3+b423已知（2017a）2+（2016a）2=1，则（2017a）（2016a）=24我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；系数和为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+2ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；，则（a+b）n的展开式共有项，系数和为25请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6的第三项的系数为26我们已经学过用面积来说明公式，如（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用如图甲中的面积来说明，请写出图乙的面积所说明的公式：（p+x）（q+x）=27如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为cm（用含a的代数式表示）三解答题28在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数（1）若小明同学心里想的是数9请帮他计算出最后结果（9+1）2（91）2259（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a0）请你帮小明完成这个验证过程29已知4x=3y，求代数式（x2y）2（xy）（x+y）2y2的值30阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的详解九章算法艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）（2）计算：993+3992+399+1；（3）请你直接写出（a+b）4的展开式参考答案与试题解析一选择题1（2016威海）下列运算正确的是（）Ax3+x2=x5Ba3a4=a12C（x3）2x5=1D（xy）3（xy）2=xy【分析】A、原式不能合并，即可作出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=a7，错误；C、原式=x6x5=x，错误；D、原式=xy，正确故选D【点评】此题考查了整数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2（2016临夏州）若x2+4x4=0，则3（x2）26（x+1）（x1）的值为（）A6B6C18D30【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：x2+4x4=0，即x2+4x=4，原式=3（x24x+4）6（x21）=3x212x+126x2+6=3x212x+18=3（x2+4x）+18=12+18=6故选B【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键3若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（）Am2B m2C m2D m2【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值【解答】解：x2+mx+k是一个完全平方式，k=m2，故选D【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键4下列运算正确的是（）Aa2+3a2=4a4B3a2a=3a3C（3a3）2=9a5D（2a+1）2=4a2+1【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方的性质，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、错误，应等于4a2；B、3a2a=3a3，正确；C、错误，应等于9a6；D、错误，应等于4a2+4a+1故选B【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，积的乘方的性质，完全平方公式，熟练掌握法则、性质和公式并灵活运用是解题的关键5（2016台湾）计算 （2x+1）（x1）（x2+x2）的结果，与下列哪一个式子相同？（）Ax22x+1Bx22x3Cx2+x3Dx23【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可作出判断【解答】解：（2x+1）（x1）（x2+x2）=（2x22x+x1）（x2+x2）=2x2x1x2x+2=x22x+1，故选A【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键6（2016武汉）运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（）Ax2+9Bx26x+9Cx2+6x+9Dx2+3x+9【分析】根据完全平方公式，即可解答【解答】解：（x+3）2=x2+6x+9，故选：C【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式7（2016苏州）下列运算结果正确的是（）Aa+2b=3abB3a22a2=1Ca2a4=a8D（a2b）3（a3b）2=b【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误；B、3a22a2=a2，故此选项错误；C、a2a4=a6，故此选项错误；D、（a2b）3（a3b）2=b，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确把握相关定义是解题关键8（2016怀化）下列计算正确的是（）A（x+y）2=x2+y2B（xy）2=x22xyy2C（x+1）（x1）=x21D（x1）2=x21【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案【解答】解：A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；B、（xy）2=x22xy+y2，故此选项错误；C、（x+1）（x1）=x21，正确；D、（x1）2=x22x+1，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了完全平方公式以及平方差公式，正确应用乘法公式是解题关键二填空题9（2016巴中）若a+b=3，ab=2，则（ab）2=1【分析】将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入求出a2+b2的值，所求式子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：将a+b=3平方得：（a+b）2=a2+2ab+b2=9，把ab=2代入得：a2+b2=5，则（ab）2=a22ab+b2=54=1故答案为：1【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键10（2016雅安）已知a+b=8，a2b2=4，则ab=28或36【分析】根据条件求出ab，然后化简ab=2ab，最后代值即可【解答】解：ab=ab=abab=2aba2b2=4，ab=2，当a+b=8，ab=2时，ab=2ab=22=28，当a+b=8，ab=2时，ab=2ab=2（2）=36，故答案为28或36【点评】此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab11（2016南充）如果x2+mx+1=（x+n）2，且m0，则n的值是1【分析】先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值【解答】解：x2+mx+1=（x1）2=（x+n）2，m=2，n=1，m0，m=2，n=1，故答案为：1【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要12（2016百色）观察下列各式的规律：（ab）（a+b）=a2b2（ab）（a2+ab+b2）=a3b3（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4可得到（ab）（a2016+a2015b+ab2015+b2016）=a2017b2017【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可【解答】解：（ab）（a+b）=a2b2；（ab）（a2+ab+b2）=a3b3；（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4；可得到（ab）（a2016+a2015b+ab2015+b2016）=a2017b2017，故答案为：a2017b2017【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键13（2016恩施州）观察下列等式：1+2+3+4+n=n（n+1）；1+3+6+10+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+20+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；则有：1+5+15+35+n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）【分析】根据已知等式发现分母依次乘以2、乘以3、乘以4，据此作答即可【解答】解：1+2+3+4+n=n（n+1）=n（n+1）；1+3+6+10+n（n+1）=n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+20+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3），1+5+15+35+n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），故答案为： n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）【点评】本题主要考查数字的变化规律，由已知等式发现变化部分的变化规律及不变的部分是解题的关键14（2016西宁）已知x2+x5=0，则代数式（x1）2x（x3）+（x+2）（x2）的值为2【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x3，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：原式=x22x+1x2+3x+x24=x2+x3，因为x2+x5=0，所以x2+x=5，所以原式=53=2故答案为2【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似15若（7xa）2=49x2bx+9，则|a+b|=45【分析】先将原式化为49x214ax+a2=49x2bx+9，再根据各未知数的系数对应相等列出关于a、b的方程组，求出a、b的值代入即可【解答】解：（7xa）2=49x2bx+9，49x214ax+a2=49x2bx+9，14a=b，a2=9，解得 a=3，b=42或a=3，b=42当a=3，b=42时，|a+b|=|3+42|=45；当a=3，b=42时，|a+b|=|342|=45故答案为45【点评】本题是一个基础题，考查了完全平方公式以及代数式的求值，要熟练进行计算是解此题的关键16已知（a+b）2=7，（ab）2=4，则ab的值为【分析】分别展开两个式子，然后相减，即可求出ab的值【解答】解：（a+b）2=a2+2ab+b2=7，（ab）2=a22ab+b2=4，则（a+b）2（ab）2=4ab=3，ab=故答案为：【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助17已知2a2+2b2=10，a+b=3，则ab=2【分析】根据完全平方公式，即可解答【解答】解：2a2+2b2=10，a2+b2=5，a+b=3，（a+b）2=9，a2+2ab+b2=9，5+2ab=9，2ab=4，ab=2，故答案为：2【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式18若（m2）2=3，则m24m+6的值为5【分析】原式配方变形后，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：（m2）2=3，原式=m24m+4+2=（m2）2+2=3+2=5，故答案为：5【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键19观察下列各式及其展开式：（ab）2=a22ab+b2（ab）3=a33a2b+3ab2b3（ab）4=a44a3b+6a2b24ab3+b4（ab）5=a55a4b+10a3b210a2b3+5ab4b5请你猜想（ab）10的展开式第三项的系数是45【分析】根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可【解答】解：根据题意得：第五个式子系数为1，6，15，20，15，6，1，第六个式子系数为1，7，21，35，35，21，7，1，第七个式子系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1，第八个式子系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，第九个式子系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（ab）10的展开式第三项的系数是45，故答案为：45【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的规律是解本题的关键20图（1）是一个长为2a，宽为2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ab）2【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积矩形的面积即可得出答案【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（ab）的长方形，正方形的边长为：a+b，由题意可得，正方形的边长为（a+b），正方形的面积为（a+b）2，原矩形的面积为4ab，中间空的部分的面积=（a+b）24ab=（ab）2故答案为（ab）2【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键21如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为，则方格纸的面积为12【分析】设每个方格的边长为x，根据题意表示出灰色三角形面积，将已知面积代入求出x的值，即可确定出方格纸面积【解答】解：可设每个方格的边长为x，根据题意得：（4x）22x3xx4x2x4x=，整理得：x2=，则方格纸的面积为16=12故答案为：12【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键22仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出（a+b）4展开式所缺的系数：（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【分析】根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可【解答】解：（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4故答案为：6【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n1系数之和它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和23（2016秋大石桥市校级期末）已知（2017a）2+（2016a）2=1，则（2017a）（2016a）=0【分析】将已知等式根据x2+y2=（xy）2+2xy变形可得【解答】解：（2017a）2+（2016a）2=1，（2017a）（2016a）2+2（2017a）（2016a）=1，即1+2（2017a）（2016a）=1，2（2017a）（2016a）=0，（2017a）（2016a）=0，故答案为：0【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键24（2016春怀柔区期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；系数和为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+2ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；，则（a+b）n的展开式共有n+1项，系数和为2n【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n1相邻两项的系数和【解答】解：展开式共有n+1项，系数和为2n故答案为：n+1，2n【点评】本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律25（2016春兴化市校级期末）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6的第三项的系数为15【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1【解答】解：由题意可得：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，则（a+b）6的第三项的系数为：15故答案为：15【点评】此题考查了数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力26（2016春青岛校级期末）我们已经学过用面积来说明公式，如（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用如图甲中的面积来说明，请写出图乙的面积所说明的公式：（p+x）（q+x）=x2+（p+q）x+pq【分析】可以拼成一个长、宽分别是x+p和x+q的长方形，它由边长是x的正方形，长宽分别是x和p，x和q，p和q组成的图形【解答】解：如图示：大矩形的长、宽分别为（x+p），（x+q），则其面积为：（x+p）（x+q），从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：x2+px+qx+pq（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq故答案为：x2+（p+q）x+pq【点评】此题考查了完全平方公式几何意义的理解注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法27（2016秋宁江区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为（4a+16）cm（用含a的代数式表示）【分析】先求出长方形的宽为3，再根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果【解答】解：根据题意得，长方形的宽为（a+4）（a+1）=3，则拼成得长方形的周长为：2（a+4+a+1+3）=2（2a+8）=（4a+16）cm故答案为（4a+16）【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项三解答题28在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数（1）若小明同学心里想的是数9请帮他计算出最后结果（9+1）2（91）2259（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a0）请你帮小明完成这个验证过程【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；（2）根据题意列出关系式，化简得到结果，验证即可【解答】解：（1）（9+1）2（91）2259=182259=100；（