高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7_5 绝对值不等式教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.5 绝对值不等式教师用书1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.【知识拓展】|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)|x2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离()(2)|x|a的解集是x|xa或xa()(3)|ab|a|b|成立的条件是ab0.()(4)若ab0，则|ab|ab|成立()1(2015山东)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)答案A解析当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)k的解集为R，则实数k的取值范围为()A(3，) B(，3)C(，1) D(，0)答案B解析根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|PA|PB|k恒成立|AB|3，即|x1|x2|3.故当k3时，原不等式恒成立3若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是()A2,4 B1,2C2,4 D4，2答案C解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.4若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1，解析设y|2x1|x2|当x5；当2x；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，题型一绝对值不等式的解法例1(2016全国乙卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的表达式及图象可知，当f(x)1时，x1或x3；当f(x)1时，x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.思维升华解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解(1)不等式|x1|x2|5的解集为_(2)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A，则a_.答案(1)x|x3或x2(2)1解析(1)方法一要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2方法二|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3或x2(2)A，且A，|2|a，且|2|a，解得2a0时，是否存在x1,1，使得|f(x)|b?(1)证明|f(1)|1bc|1，|f(1)|1bc|1，|1bc1bc|1bc|1bc|2，|22c|2，|1c|1.(2)解由b2a0，得0时，abcb0，此时有|f(1)|b，即存在x1，使得|f(x)|b成立当ac0时，abcb0，此时有|f(1)|b，即存在x1使得|f(x)|b成立当ac0时，f(x)b，b，存在x使得|f(x)|b成立综上，存在x1使得|f(x)|b成立思维升华(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题；(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决命题点2绝对值不等式和数列的综合例4(2016浙江样卷)已知数列an满足a11，an1(nN*)(1)证明：数列|an|为单调递减数列；(2)记Sn为数列|an1an|的前n项和，证明：Sn0，故1，数列|an|为单调递减数列(2)a11，a2，当n3时，|an|，得an，故an(nN*).|an1an|an1an|an1|an|，Sn|a2a1|a3a2|an1an|a1|a2|an|a2|a3|an1|.思维升华(1)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩(2)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以当a3时，f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,016绝对值不等式的解法典例不等式|x1|x1|3的解集为_思想方法指导对|xa|xb|c型不等式的解法，一般可采用三种方法求解：几何法、分区间讨论法和图象法解析方法一当x1时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得x；当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23，不成立，无解；当x1时，原不等式可以化为x1x13，所以x.综上，原不等式的解集为.方法二将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.原不等式的解集为.方法三如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离之和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离之和为3，A1对应数轴上的x.1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1，到A，B两点的距离之和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3，得x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.原不等式的解集是.答案1不等式|2x1|3的解集是()A(1,2) B(1,2)C(2，1) D(，2)(2，)答案B解析|2x1|332x131x2.2不等式|2x1|x2|0的解集是()Ax|1x1 Bx|x1 Dx|x1答案A解析方法一原不等式即为|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得x1，由得1x.综上可得1x1，原不等式的解集为x|1xa对于一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析由绝对值的几何意义知|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，则需a0恒成立，即(|x3|x7|)minm，由于数轴上的点到点3和点4的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m4.10若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为_答案(5,7)解析由|3xb|4，得43xb4，即x，不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则5b7.11已知函数f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|a4|有解，求a的取值范围解(1)f(x)|x3|x2|3，当x2时，有x3(x2)3，解得x2；当x3时，x3(x2)3，解得x；当3x2时，有2x13，解得1x2.综上，f(x)3的解集为x|x1(2)由绝对值不等式的性质可得|x3|x2|(x3)(x2)|5，则有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解，则|a4|5，解得1a9.所以a的取值范围是1,912(2016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.13设f(x)|x1|x1|.(1)求f(x)x2的解集；(2)若不等式f(x)对任意实数a0恒成立，求x的取值范围解