中考数学专题复习25《圆的位置关系》

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争2017年中考数学专题练习25圆的位置关系【知识归纳】1. 点与圆的位置关系共有三种： ， ， ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：d r，d r，d r.2. 直线与圆的位置关系共有三种： ， ， .对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：d r，d r，d r.3. 圆的切线 过切点的半径；经过 的外端，并且 这条 的直线是圆的切线.4. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 夹角.5. 三角形的三个顶点确定一 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点. 6. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . 【基础检测】1、是平面内的三点，下列说法正确的是（ ） A可以画一个圆，使、都在圆上 B可以画一个圆，使、在圆上，在圆外 C可以画一个圆，使、在圆上，在圆外 D可以画一个圆，使、在圆上，在圆内2. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A=30，则sinE的值为（）ABCD3. （2016年浙江省台州市）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A6B2+1C9D4（2016江苏无锡）如图，AB是O的直径，AC切O于A，BC交O于点D，若C=70，则AOD的度数为（）A70B35C20D405.（2016福建龙岩10分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，ACD=B，ADCD（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD=1，OA=2，求AC的值6. （2016青海西宁10分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，求BE的长【达标检测】一、选择题1.（2015重庆A9，4分）如图，AB是的直径，点C在上，AE是的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D，若AOC=80，则ADB的度数为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 209题图2. （2015齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（） A 8AB10 B 8AB10 C 4AB5 D 4AB53（2015湖南张家界，第2题3分）如图，O=30，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（） A 相离 B 相交 C 相切 D 以上三种情况均有可能4（2016上海）如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，A的半径长为3，D与A相交，且点B在D外，那么D的半径长r的取值范围是（）A1r4 B2r4 C1r8 D2r85（2016江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A2rBr3Cr5D5r二、填空题6（2016江苏无锡）如图，AOB中，O=90，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切 7（2016呼和浩特）在周长为26的O中，CD是O的一条弦，AB是O的切线，且ABCD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为8.（2016.山东省泰安市，3分）如图，半径为3的O与RtAOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若B=30，则线段AE的长为9. （2016内蒙古包头3分）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若A=30，PC=3，则BP的长为10. （2016四川攀枝花）如图，ABC中，C=90，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的O和AB、BC均相切，则O的半径为11如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，sinA=，OA=10cm，则AB长为 cm 12矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点中至少有一点在B内，且至少有一点在B外，则B的半径r的取值范围是_13.（2016黑龙江齐齐哈尔3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则C=度三、解答题：14. （2016湖北武汉）如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E(1) 求证：AC平分DAB；(2) 连接BE交AC于点F，若cosCAD，求的值15（2016山东省滨州市）如图，过正方形ABCD顶点B，C的O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF（1）求证：PF平分BFD（2）若tanFBC=，DF=，求EF的长【知识归纳答案】1. 点与圆的位置关系共有三种：点在圆内 ，点在圆上 ，点在圆外 ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：dr.2. 直线与圆的位置关系共有三种：相交，相切 ，相离 .对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：dr.3. 圆的切线垂直于 过切点的半径；经过半径 的外端，并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.4. 从圆外一点可以向圆引两 条切线， 它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5. 三角形的三个顶点确定一 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫三角形的外 心，是三角形三边垂直平分线 的交点. 6. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ，内切圆的圆心是三角形三条角平分线 的交点，叫做三角形的内心 .【基础检测答案】1、是平面内的三点，下列说法正确的是（ ） A可以画一个圆，使、都在圆上 B可以画一个圆，使、在圆上，在圆外 C可以画一个圆，使、在圆上，在圆外 D可以画一个圆，使、在圆上，在圆内【答案】B.【解析】由已知可知点B是线段AC的中点，故A、B、C三点不可能在同一个圆上，若A、B在同一个圆上，则点C在这个圆外，若A、C在同一个圆上，则点B在圆内，若B、C在同一个圆上，则点A在圆外；故选项B正确，故选B.2. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A=30，则sinE的值为（）ABCD【考点】切线的性质【分析】首先连接OC，由CE是O切线，可证得OCCE，又由圆周角定理，求得BOC的度数，继而求得E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案【解答】解：连接OC，CE是O切线，OCCE，A=30，BOC=2A=60，E=90BOC=30，sinE=sin30=故选A3. （2016年浙江省台州市）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A6B2+1C9D【考点】切线的性质【分析】如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题【解答】解：如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，AB=10，AC=8，BC=6，AB2=AC2+BC2，C=90，OP1B=90，OP1ACAO=OB，P1C=P1B，OP1=AC=4，P1Q1最小值为OP1OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，PQ长的最大值与最小值的和是9故选C4（2016江苏无锡）如图，AB是O的直径，AC切O于A，BC交O于点D，若C=70，则AOD的度数为（）A70B35C20D40【考点】切线的性质；圆周角定理【分析】先依据切线的性质求得CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到CBA的度数，然后由圆周角定理可求得AOD的度数【解答】解：AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，ABACCAB=90又C=70，CBA=20DOA=40故选：D5.（2016福建龙岩10分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，ACD=B，ADCD（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD=1，OA=2，求AC的值【考点】切线的判定【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出ACB=90，由等腰三角形的性质得出B=BCO，证出OCD=OCA+BCO=ACB=90，即可得出结论；（2）证明ACBADC，得出AC2=ADAB，即可得出结果【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：AB是O直径，ACB=90，OB=OC，B=BCO，又ACD=B，OCD=OCA+ACD=OCA+BCO=ACB=90，即OCCD，CD是O的切线；（2）解：ADCD，ADC=ACB=90，又ACD=B，ACBADC，AC2=ADAB=14=4，AC=26. （2016青海西宁）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，求BE的长【考点】切线的判定与性质【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到ADO+1=90，而CDA=CBD，CBD=1，于是CDA+ADO=90；（2）根据已知条件得到CDACBD由相似三角形的性质得到，求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE，BEBC根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】（1）证明：连结OD，OB=OD，OBD=BDO，CDA=CBD，CDA=ODB，又AB是O的直径，ADB=90，ADO+ODB=90，ADO+CDA=90，即CDO=90，ODCD，OD是O半径，CD是O的切线（2）解：C=C，CDA=CBDCDACBD，BC=6，CD=4，CE，BE是O的切线BE=DE，BEBCBE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2解得：BE=【达标检测答案】一、选择题9题图1.（2015重庆）如图，AB是的直径，点C在上，AE是的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D，若AOC=80，则ADB的度数为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 20【解析】切线的性质由AB 是O 直径，AE 是O 的切线，推出AD AB，DAC= B= AOC=40， 推出AOD=50 【解答】解：AB 是O 直径，AE 是O 的切线， BAD=90， B= AOC=40， ADB=90B=50， 故选B 【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形，求B 的度数 2. （2015齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（） A 8AB10 B 8AB10 C 4AB5 D 4AB5【解析】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8AB10【解答】解：当AB与小圆相切，大圆半径为5，小圆的半径为3，AB=8大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，8AB10故选：A【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长3（2015湖南张家界，第2题3分）如图，O=30，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（） A 相离 B 相交 C 相切 D 以上三种情况均有可能【解析】直线与圆的位置关系利用直线l和O相切d=r，进而判断得出即可【解答】解：过点C作CDAO于点D，O=30，OC=6，DC=3，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切故选：C【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键4（2016上海）如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，A的半径长为3，D与A相交，且点B在D外，那么D的半径长r的取值范围是（）A1r4 B2r4 C1r8 D2r8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r53=2，由点B在D外，于是得到r4，即可得到结论【解答】解：连接AD，AC=4，CD=3，C=90，AD=5，A的半径长为3，D与A相交，r53=2，BC=7，BD=4，点B在D外，r4，D的半径长r的取值范围是2r4，故选B【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆外；当dr时，点在圆内 5（2016江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A2rBr3Cr5D5r【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题【解答】解：如图，AD=2，AE=AF=，AB=3，ABAEAD，r3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型 二、填空题6（2016江苏无锡）如图，AOB中，O=90，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切 【考点】直线与圆的位置关系【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为EFC=O=90，所以EFCDCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0t4【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，CF=1.5，AC=2t，BD=t，OC=82t，OD=6t，点E是OC的中点，CE=OC=4t，EFC=O=90，FCE=DCOEFCDCO=由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，（4t）2=+，解得：t=或t=，0t4，t=故答案为：7（2016呼和浩特）在周长为26的O中，CD是O的一条弦，AB是O的切线，且ABCD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为24【考点】切线的性质【分析】如图，设AB与O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E，首先证明OECD，在RTEOD中，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图，设AB与O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E2R=26，R=13，OF=OD=13，AB是O切线，OFAB，ABCD，EFCD即OECD，CE=ED，EF=18，OF=13，OE=5，在RTOED中，OED=90，OD=13，OE=5，ED=12，CD=2ED=24故答案为248.（2016.山东省泰安市）如图，半径为3的O与RtAOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若B=30，则线段AE的长为【分析】要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据B=30和OB的长求得，OE可以根据OCE和OC的长求得【解答】解：连接OD，如右图所示，由已知可得，BOA=90，OD=OC=3，B=30，ODB=90，BO=2OD=6，BOD=60，ODC=OCD=60，AO=BOtan30=，COE=90，OC=3，OE=OCtan60=，AE=OEOA=，故答案为：【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件9. （2016内蒙古包头3分）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若A=30，PC=3，则BP的长为【考点】切线的性质【分析】在RTPOC中，根据P=30，PC=3，求出OC、OP即可解决问题【解答】解：OA=OC，A=30，OCA=A=30，COB=A+ACO=60，PC是O切线，PCO=90，P=30，PC=3，OC=PCtan30=，PC=2OC=2，PB=POOB=，故答案为10. （2016四川攀枝花）如图，ABC中，C=90，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的O和AB、BC均相切，则O的半径为【考点】切线的性质【分析】过点0作OEAB于点E，OFBC于点F根据切线的性质，知OE、OF是O的半径；然后由三角形的面积间的关系（SABO+SBOD=SABD=SACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可【解答】解：过点0作OEAB于点E，OFBC于点FAB、BC是O的切线，点E、F是切点，OE、OF是O的半径；OE=OF；在ABC中，C=90，AC=3，AB=5，由勾股定理，得BC=4；又D是BC边的中点，SABD=SACD，又SABD=SABO+SBOD，ABOE+BDOF=CDAC，即5OE+20E=23，解得OE=，O的半径是故答案为：【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题11如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，sinA=，OA=10cm，则AB长为 cm 【答案】16.【解析】试题分析：连接OC，大圆的弦AB与小圆相切于C点，OCAB，AC=BC，sinA=，OA=10cm，OC=6cm，AC=cm，AB=2AC=16cm考点：1.切线的性质；2.垂径定理；3.解直角三角形 12矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点中至少有一点在B内，且至少有一点在B外，则B的半径r的取值范围是_【答案】15r25【解析】1.勾股定理；2.点与圆的位置关系.因为矩形ABCD的边AB=15，BC=20，所以AD=BC=,所以要使A，C，D三点中至少有一点在B内，且至少有一点在B外，则B的半径r的取值范围是15r2513.（2016黑龙江齐齐哈尔3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则C=45度【考点】切线的性质；平行四边形的性质【分析】连接OD，只要证明AOD是等腰直角三角形即可推出A=45，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题【解答】解；连接ODCD是O切线，ODCD，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABOD，AOD=90，OA=OD，A=ADO=45，C=A=45故答案为45三、解答题：14. （2016湖北武汉8分）如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E(1) 求证：AC平分DAB；(2) 连接BE交AC于点F，若cosCAD，求的值【考点】切线的性质；考查了切线的 性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理