高中数学1_3_2命题的四种形式学案新人教b版选修2_1

一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。1.3.2命题的四种形式1了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念2能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题(重点、难点)3掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系(易混点)基础初探教材整理1四种命题的概念及结构阅读教材P22P23，完成下列问题1四种命题的概念一般地，对于两个命题，(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做_(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的_，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_的否定和_的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的_、_、_.【答案】(1)互逆命题(2)否定(3)结论条件逆命题否命题逆否命题2四种命题的结构【答案】若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)命题“若綈p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”()(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题()(3)命题“若ABA，则ABB”的逆否命题是“若ABB，则ABA”()【答案】(1)(2)(3)教材整理2四种命题之间的关系阅读教材P23“例”以下内容，完成下列问题1四种命题之间的关系【答案】若p，则q若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_【答案】(1)相同(2)没有关系下列四个命题：“若xy0，则x0，且y0”的逆否命题；“正方形是矩形”的否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题；若m2，则不等式x22xm0.其中真命题的个数为()A0B1C2D3【解析】命题的逆否命题是“若x0或y0，则xy0”，为假命题；命题的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，为假命题；命题为真命题，当m2时，方程x22xm0的判别式3时，x24x30；(3)正方形的对角线互相平分【精彩点拨】根据四种命题的定义解答【自主解答】(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似(2)原命题：若x3，则x24x30；逆命题：若x24x30，则x3；否命题：若x3，则x24x30；逆否命题：若x24x30，则x3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形四种命题的写法1由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题2如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变再练一题1命题“若ykx，则x与y成正比例关系”的否命题是()A若ykx，则x与y成正比例关系B若ykx，则x与y成反比例关系C若x与y不成正比例关系，则ykxD若ykx，则x与y不成正比例关系【答案】D四种命题真假的判断判断下列四个命题的真假，并说明理由(1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若xy，则x2y2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x60”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题【精彩点拨】依题意写出命题进行判定，正确的命题进行证明，错误的命题只需举出反例，或应用互为逆否命题的命题具有相同的真假性判定【自主解答】(1)命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题(2)令x1，y2，满足xy，但x2y，则x2y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若xy，则x2y2”的逆否命题也是假命题(3)该命题的否命题为“若x3，则x2x60”，令x4，满足x3，但x2x660，不满足x2x60，则该否命题是假命题(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可再练一题2(1)写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断真假；(2)写出本例(3)中命题的逆否命题，并判断真假【解】(1)逆命题：若x2y2，则xy，是假命题，如(2)212，但23，是假命题，如x0，满足x2x60，但不满足x3.探究共研型等价命题的应用探究1已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆否命题为真命题，求实数m的取值范围【提示】因为命题“若m1xm1，则1x2，则m2n22”，下面证明逆否命题的正确性因为m2n22mn，所以2(m2n2)m2n22mn(mn)2，即m2n2(mn)2，又因为mn2，所以m2n2(mn)2222，即m2n22，所以m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题命题：对任意xR，ax22ax30不成立是真命题，求实数a的取值范围【精彩点拨】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题【自主解答】因为命题“对任意xR，ax22ax30不成立”等价于“对任意xR，ax22ax30恒成立”，若a0，则30恒成立，所以a0符合题意设f(x)ax22ax3，当a0时，二次函数的图象开口向上，又因为4a212a0，所以图象不会全部落在x轴下方，显然不符合题意当a0时，二次函数f(x)ax22ax3开口向下，只需满足0即可，即所以所以所以3a0.综上所述，a的取值范围是3a0.1解答本题时首先利用了等价转化思想，把不成立的问题转化为恒成立的问题解决，即求对于任意xR，ax22ax30恒成立时的a的范围在解题过程中还利用了分类讨论的思想2若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题再练一题3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假【解】法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集真假判断如下：因为抛物线yx2(2a1)xa22的图象开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，若a1，则4a70.即抛物线yx2(2a1)xa22的图象与x轴无交点所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集故原命题的逆否命题为真命题法二先判断原命题的真假因为a，x为实数，且关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，因为a，所以a1，所以原命题为真命题又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题构建体系1命题“若aA，则bB”的逆命题是()A若aA，则bBB若aA，则bBC若bB，则aA D若bB，则aA【解析】“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若bB，则aA”【答案】C2已知命题：“若x0，y0，则xy0”，在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A1B2 C3D4【解析】由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy0，则x0，y0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.【答案】B3命题“若m1，则mx22x10无实根”的等价命题是_. 【导学号：15460016】【解析】原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为“若mx22x10有实根，则m1”【答案】若mx22x10有实根，则m14(2016马鞍山四校联考)“两奇数的和是偶数”的否命题为：_.【解析】“两奇数的和是偶数”即“若两个数都是奇数，则它们的和是偶数”其否命题为“若两个数不都是奇数，则它们的和不是偶数”【答案】若两个数不都是奇数，则它们的和不是偶数5已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出它的逆命题，并判断其真假；(2)写出它的逆否命题，并判断其真假【解】(1)逆命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)则ab0，真命题(2)逆否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，真命题我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()A若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数B若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数C若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是增函数D若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是增函数【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”【答案】A2(2016济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若ab0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3【解析】逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则ab0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则ab0”为真命题，故选C.【答案】C3(2016南宁高二检测)已知命题“若ab0，则a0或b0”，则下列结论正确的是()A原命题为真命题，否命题：“若ab0，则a0或b0”B原命题为真命题，否命题：“若ab0，则a0且b0”C原命题为假命题，否命题：“若ab0，则a0或b0”D原命题为假命题，否命题：“若ab0，则a0且b0”【解析】逆否命题“若a0且b0，则ab0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题否命题为“若ab0，则a0且b0”，故选B.【答案】B4(2016潍坊高二期末)命题“若x3，则x22x30”的逆否命题是()A若x3，则x22x30B若x3，则x22x30C若x22x30，则x3D若x22x30，则x3【解析】其逆否命题为“若x22x30，则x3”故选C.【答案】C5已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3【答案】A二、填空题6(2016三门峡高二期中)命题“若x2，则x24”的逆命题是_. 【导学号：15460017】【解析】原命题的逆命题为“若x24，则x2”【答案】若x24，则x27命题“若ab，则2a2b1”的否命题是_【解析】否定条件与结论，得否命题“若ab，则2a2b1”【答案】若ab，则2a2b18在空间中，给出下列两个命题：若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线其中逆命题为真命题的是_【解析】的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题【答案】三、解答题9写出命题“已知a，bR，若a2b2，则ab”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假【解】逆命题：已知a，bR，若ab，则a2b2；否命题：已知a，bR，若a2b2，则ab；逆否命题：已知a，bR，若ab，则a2b2.原命题是假命题逆否命题也是假命题逆命题是假命题否命题也是假命题10已知命题p：“若ac0，则二次方程ax2bxc0没有实根”(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论【解】(1)命题p的否命题为“若ac0，则二次方程ax2bxc0有实根”(2)命题p的否命题是真命题证明如下：ac0，ac0b24ac0二次方程ax2bxc0有实根该命题是真命题能力提升1与命题“若ab0，则ab”等价的命题是()A若ab0，则a不垂直于bB若ab，则ab0C若a不垂直于b，则ab0D若ab0，则ab【解析】原命题与其逆否命题为等价命题【答案】C2(2016福州期末)命题“若xy是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是()A若x，y都不是偶数，则xy不是偶数B若x，y不都是偶数，则xy是偶数C若x，y不都是偶数，则xy不是