中考数学一轮复习 第17讲《全等三角形》练习

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争2017年中考数学一轮复习第17讲全等三角形【考点解析】知识点一：全等三角形性质【例题】（2016重庆市B卷7分）如图，在ABC和CED中，ABCD，AB=CE，AC=CD求证：B=E【考点】全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ECD，再利用“边角边”证明ABC和CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可【解答】证明：ABCD，BAC=ECD，在ABC和CED中，ABCCED（SAS），B=E【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键【变式】（2016湖北武汉8分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF，求证：ABDE【考点】全等三角形的判定和性质【答案】见解析【解析】证明：由BECF可得BCEF，又ABDE，ACDF，故ABCDEF（SSS），则B=DEF，ABDE知识点二：全等三角形判定：【例题1】（2016永州）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（）AB=C BAD=AE CBD=CE DBE=CD【分析】欲使ABEACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可【解答】解：AB=AC，A为公共角，A、如添加B=C，利用ASA即可证明ABEACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明ABEACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明ABEACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明ABEACD，所以此选项不能作为添加的条件故选：D【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理【变式】（2016金华）如图，已知ABC=BAD，添加下列条件还不能判定ABCBAD的是（）AAC=BD BCAB=DBA CC=D DBC=AD【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案【解答】解：由题意，得ABC=BAD，AB=BA，A、ABC=BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；B、在ABC与BAD中，ABCBAD（ASA），故B正确；C、在ABC与BAD中，ABCBAD（AAS），故C正确；D、在ABC与BAD中，ABCBAD（SAS），故D正确；故选：A【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【例题2】（2016莆田）如图，OP是AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定POCPOD的选项是（）APCOA，PDOB BOC=OD COPC=OPD DPC=PD【分析】要得到POCPOD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论于是答案可得【解答】解：OP是AOB的平分线，AOP=BOP，OP=OP，根据HL需添加PCOA，PDOB，根据SAS需添加OC=OD，根据AAS需添加OPC=OPD，故选D【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键【变式】（2015莆田）如图，AEDF，AE=DF，要使EACFDB，需要添加下列选项中的（）AAB=CD BEC=BF CA=D DAB=BC【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AEFD，可得A=D，再利用SAS定理证明EACFDB即可【解答】解：AEFD，A=D，AB=CD，AC=BD，在AEC和DFB中，EACFDB（SAS），故选：A【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【典例解析】【例题1】（2015宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作ABP，使之与ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A1个 B2个 C3个 D4个【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可【解答】解：要使ABP与ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置【例题2】ABCDEF第22题图（2013年佛山市，22，8分）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实(1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；(2) 证明推论AAS要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据分析：（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA来证明解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（2）已知：在ABC与DEF中，A=D，C=F，BC=EF求证：ABCDEF证明：如图，在ABC与DEF中，A=D，C=F（已知），A+C=D+F（等量代换）又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和定理），B=E在ABC与DEF中，ABCDEF（ASA）点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 【例题3】（2013东营，23，10分） (1)如图(1)，已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m， CE直线m，垂足分别为点D、E证明:DE=BD+CE(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状（第23题图）ABCEDm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFCmBAD+ABD=90CAE=ABD又AB=AC ADBCEAAE=BD，AD=CEDE=AE+AD= BD+CE (2)BDA =BAC=，（图2）mABCDEDBA+BAD=BAD +CAE=180DBA=CAEBDA=AEC=，AB=ACADBCEAAE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA =CAEABF和ACF均为等边三角形ABF=CAF=60DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAEBF=AFDBFEAFDF=EF，BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60DEF为等边三角形点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法【中考热点】【热点1】（2016浙江省绍兴市8分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时B与D是否相等，并说明理由（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系【分析】（1）相等连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可（2）分两种情形当点C在点D右侧时，当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意【解答】解：（1）相等理由：连接AC，在ACD和ACB中，ACDACB，B=D（2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右侧时，解得，当点C在点D左侧时，解得，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+817，不合题意，AD=13cm，BC=10cm【热点2】（2016广西百色8分）已知平行四边形ABCD中，CE平分BCD且交AD于点E，AFCE，且交BC于点F（1）求证：ABFCDE；（2）如图，若1=65，求B的大小【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，ADBC，B=D，得出1=DCE，证出AFB=1，由AAS证明ABFCDE即可；（2）由（1）得1=DCE=65，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ADBC，B=D，1=DCE，AFCE，AFB=ECB，CE平分BCD，DCE=ECB，AFB=1，在ABF和CDE中，ABFCDE（AAS）；（2）解：由（1）得：1=ECB，DCE=ECB，1=DCE=65，B=D=180265=50【热点3】（2013山东菏泽，16，12分）(每题6分)ABCDE（第16题）（1）如图，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连结AE、DE、DC. 求证：ABECBD；若CAE=30，求BDC的度数.【思路分析】根据题意可以寻找ABECBD的条件SAS即可；可以经过证ABECBD，然后根据角的和差进行计算.【解】（1）证明:ABC=90ABE=CBD=90 在ABE与CBD中ABECBD 解：在ABC中AB=CB，ABC=90CAB=45CAE=30BAE=CAE-CAB=15ABECBDBAE=BCD=15BDC=90-15=75【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL解决此题，利用等腰三角形性质可以寻找需要的边、角. 【热点4】（2013江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现： 在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） AF=AG=AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB数学思考： 在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探索： 在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状 答： 【思路分析】（1） 由图形的对称性易知、都正确，DAB=DMB=45也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1DFMMGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MDME就是要证DME=90，由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四个角相加为180，FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得DME=90 （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.解析操作发现： 答：MD=ME，MDME， 先证MD=ME；如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，M是BC的中点，MFAC，MF=AC，又EG是等腰RtAEC斜边上的中线，EGAC且EG=AC，MF=EG，同理可证DF=MG，MFAC，MFA=BAC=180同事可得MGA+BAC=180，MFA=MGA，又EGAC，EGA=90，同理可得DFA=90，MFA+DFA=MGA=EGA，即DFM=MEG，又MF=EG，DF=MG，DFMMGE（SAS），MD=ME， 再证MDME；证法一：MGAB，MFA+FMG=180，又DFMMGE，MEG=MDF，MFA+FMD+DME+MDF=180，其中MFA+FMD+MDF=90，DME=