高三数学二轮复习 专题突破 专题五 立体几何 第2讲 点直线平面之间的位置关系限时训练 文

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。第2讲点、直线、平面之间的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系证明1,4空间线面关系证明2,3空间面面关系证明2立体几何中的折叠问题41.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)证明:PABD;(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.(1)证明:因为DAB=60,AB=2AD.由余弦定理得BD=3AD,所以BD2+AD2=AB2,故BDAD.又PD底面ABCD,可得BDPD.又ADPD=D,所以BD平面PAD,又PA平面PAD,所以PABD.(2)解:作DEPB,垂足为E.已知PD底面ABCD,则PDBC.由(1)知BDAD,又BCAD,所以BCBD.故BC平面PBD,BCDE,则DE平面PBC,由题设知PD=1,则BD=3,PB=2.由DEPB=PDBD得DE=32.即棱锥D-PBC的高为32.2.(2016贵州省遵义航天高中一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,且ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.(1)求证:直线AB1平面BC1D;(2)求证:平面BC1D平面ACC1A1;(3)求三棱锥C-BC1D的体积.(1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.因为D为AC中点,得DO为AB1C的中位线,所以AB1OD.因为OD平面BC1D,AB1平面BC1D,所以直线AB1平面BC1D.(2)证明:因为AA1底面ABC,所以AA1BD.因为ABC为正三角形,D是AC的中点,所以BDAC.因为AA1AC=A,所以BD平面ACC1A1.因为BD平面BC1D,所以平面BC1D平面ACC1A1.(3)解:由(2)知ABC中,BDAC,BD=ABsin 60=33,所以SBCD=12333=932.又CC1是底面BCD上的高,所以VCBC1D=VC1BCD=139326=93.3.(2016山东菏泽模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,BC=3,AA1=4,ACBC,点M在线段AB上.(1)若M是AB中点,证明AC1平面B1CM;(2)当BM长是多少时,三棱锥B1-BCM的体积是三棱柱ABC-A1B1C1的体积的19?(1)证明:连接BC1,交B1C于E,连接ME.因为直三棱柱ABC-A1B1C1,M是AB中点,所以侧面BB1C1C为矩形,ME为ABC1的中位线,所以MEAC1.因为ME平面B1CM,AC1平面B1CM,所以AC1平面B1CM.(2)解:因为SABC=12BABCsinABC,SMBC=12BMBCsinMBC,所以V三棱锥B1-BCM=1312BMBCsinABCB1B,V三棱柱ABC-A1B1C1=12BABCsinABCB1B.由V三棱锥B1BCM=19V三棱柱ABCA1B1C1,得BM=13BA.因为ACBC,所以在RtACB中,BA=AC2+BC2=5,所以BM=53.当BM长是53时,三棱锥B1-BCM的体积是三棱柱ABC-A1B1C1的体积的19.4.(2016东北三省三校一模)如图,在平行四边形ABCD中,ADBD,AD=2,BD=4,点M,N分别为BD,BC的中点,将其沿对角线BD折起成四面体QBCD,使平面QBD平面BCD,P为QC的中点.(1)求证:PMBD;(2)求点D到平面QMN的距离.(1)证明:因为平面QBD平面BCD, QDBD,平面QBD平面BCD=BD,所以QD平面BCD,所以QDDC, 同理QBBC.因为P是QC的中点,所以DP=BP=12QC, 又M是DB的中点,所以PMBD. (2)解:因为QD平面BCD,QD=BC=2,BD=4,M,N,P分别是DB,BC,QC的中点,所以QM=22,MN=5,QN=21,所以SQMN=6. 又SMND=1,设点D到平面QMN的距离为h,因为 VQMND=VDQMN,所以1312=136h,得h=63,所以点D到平面QMN的距离为63.(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系1空间线面关系2,3,4空间面面关系3立体几何中的折叠问题41.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解:由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=3.又A1C=6,则A1C2=OC2+OA12,故OA1OC.因为OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高.又ABC的面积SABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABCOA1=3.2.(2016贵州省贵阳市适应性检测)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,DAB=60,AA1平面ABCD,且AD=AA1=1,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点.(1)求证:FM平面BDD1B1;(2)求三棱锥D1-BDF的体积.(1)证明:连接AC,设与BD交于O点,连接OM,因为A1F=AF,AB=A1D1,D1A1F=FAB=90,所以D1F=BF,又M为线段BD1的中点,所以FMBD1,因为OMAF且OM=AF,所以四边形FAOM为平行四边形,所以FMAO,因为底面ABCD是菱形,所以AOBD,则FMBD,又因为BDBD1=B,所以FM平面BDD1B1.(2)解:由(1)知FM平面BDD1B1,因为SBDD1=12BDDD1=1211=12,FM=AO=32,所以VD1BDF=VFBDD1=13SBDD1FM=131232=312.3.(2016安徽“皖南八校”联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=3,AB=3,D是AB的中点,点E在BB1上,B1E=16BB1,求证:(1)AC1平面B1CD;(2)平面A1C1E平面B1CD.证明:(1)连接BC1交B1C于点F,连接DF,则F是BC1的中点,因为D是AB的中点,所以DFAC1,因为AC1平面B1CD,DF平面B1CD.所以AC1平面B1CD.(2)因为AC=BC,D是AB的中点,所以CDAB,因为在直三棱柱中,侧面ABB1A1底面ABC,且交线为AB.所以CD平面ABB1A1,又A1E平面ABB1A1,所以A1ECD,因为矩形ABB1A1中,A1B1=AB=3,BB1=AA1=3,B1E=16BB1=12,BD=12AB=32,所以A1B1B1B=33,B1EBD=33.因为A1B1E=B1BD=90,所以A1B1EB1BD,所以B1A1E=BB1D,所以B1A1E+A1B1D=BB1D+A1B1D=A1B1B=90,所以A1EB1D,因为CDB1D=D,CD,B1D平面B1CD,所以A1E平面B1CD.因为A1E平面A1C1E,所以平面A1C1E平面B1CD.4.(2016湖北荆门高三调考)如图1,在直角梯形EFBC中,FBEC,BFEF,且EF=12FB=13EC =1,A为线段FB的中点,ADEC于D,沿AD将四边形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2.(1)求证:BC平面EDB;(2)求点M到平面BEF的距离.(1)证明:由题意,平面ADEF与平面ABCD垂直,而平面ADEF与平面ABCD相交于AD,ED平面ADEF,EDAD,所以ED平面ABCD.又BC平面ABCD,所以BCED.由于AB=AD=1,在直角三角形BAD中,BD=2.在直角梯形ABCD中,由条件AB=AD=1,CD=2,得BC=2.所以BD2+BC2=DC2,所以BCBD,又BDED=D,所以BC平面EDB.(2)解:在RtFAB,RtEDB中,BF=AF2+AB2=2,BE=BD2+DE2=3,又EF=1,则BE2=EF2+EF2,所以EFBF,所以SBEF=1212=2