高考数学大一轮复习第五章平面向量5_3平面向量的数量积课件文北师大版

5.3 平面向量的数量积 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 a， b，则AOB(0180)叫 作向量a与b的夹角. 知识梳理 2.平面向量的数量积 定义 已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把|a|b|cos 叫 作a与b的数量积(或内积)，记作ab 几何 意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影 的 乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积 |b|cos 3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角.则 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)当a与b同向时，ab|a|b|； 当a与b反向时，ab|a|b|. 特别地，aa 或|a| . (4)cos . (5)|ab| . ab0 |a|2 |a|b| 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ； (2)(a)b (为实数)； (3)a(bc)abac. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到 (1)若a(x，y)，则|a|2 或|a| . (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点间的距离AB . ba (ab)a(b) x1x2y1y2 x2y2 (3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则ab . (4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角， 则cos . x1x2y1y20 1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2. 知识拓展 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结 果是向量.( ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)两个向量的夹角的范围是0， .( ) 思考辨析 1.(教材改编)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k等于 A.12 B.6 C.6 D.12 考点自测 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12. 答案 解析 2.(2016南宁质检)已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b| 等于 答案 解析 答案 解析 A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 故平行四边形的对角线垂直， 所以该四边形一定是菱形，故选C. 答案 解析 设a与b的夹角为， 5.(2016厦门模拟)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|a b|_. 答案 解析 ab，ab0，即x20， x2，a(2,1)，a25，b25， 题型分类 深度剖析 例1 (1)(2016天津)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别 是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为 题型一 平面向量数量积的运算 答案 解析 如图，由条件可知 因为ABC是边长为1的等边三角形， (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值 为_； 的最大值为_. 答案 解析 11 几何画板展示 方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)， 设E(t,0)，t0,1， 方法二 由图知，无论E点在哪个位置， 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解， 即ab|a|b|cosa，b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b (x2，y2)，则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 思维升华 答案 解析 A.30 B.45 C.60 D.120 又0ABC180，ABC30. A.20 B. 15 C.9 D.6 答案 解析 故选C. 题型二 平面向量数量积的应用 答案 解析 命题点1 求向量的模 2 答案 解析 即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆. 例3 (1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2 与b3e1e2的夹角为，则cos _. 答案 解析 命题点2 求向量的夹角 因为b2(3e1e2)2923112cos 18，所以|b| ， 因为a2(3e12e2)2923212cos 49，所以|a|3， 2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0， 即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3. 又若(2a3b)c，则2k312，即k . 当k 时，2a3b(12，6)6c， 即2a3b与c反向. 综上，k的取值范围为 . (2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角 ， 则k的取值范围是_. 答案 解析 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，. (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是abab 0|ab|ab|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： 跟踪训练2 (1)(2016江西高安中学等九校联考)已知平面向量a，b满 足a(ab)5，且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角的正切值为 答案 解析 a(ab)5，即a2ab5ab1， 答案 解析 (1)若mn，求tan x的值； 例4 (2015广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ， n(sin x，cos x)，x . 题型三 平面向量与三角函数 解答 所以sin xcos x，所以tan x1. (2)若m与n的夹角为 ，求x的值. 解答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或 垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量 的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的 有界性，求得值域等. 思维升华 由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0， 即6sin25sin cos 4cos20， 上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40， 由于 ， 则tan 0，解得tan ，故选A. 答案 解析 由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形， 答案 解析1 所以|ab|2|a|2|b|22， 利用数量积求向量夹角现场纠错系列5 错解展示 纠错心得 典例 已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)， B(3,3).求使向量 与 夹角为钝角的充要条件. 现场纠错 返回 解 错解中，cos 0包含了，即 反向的情况，此时a1， 故 夹角为钝角的充要条件是0a2且a1. 返回 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的 情况. 返回 课时作业 A.x B.x1 C.x5 D.x0 1.(2016北师大附中模拟)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要 条件是 答案 12345678910 11 12 13 A.2 B.2 C.4 D.12 2.若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|等于 答案 解析 |ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60 44222 12， |ab| . 12345678910 11 12 13 3.(2016山西四校二联)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b| 1，则向量a与b夹角的正弦值为 答案 解析 a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3， cosa，b ， 又a，b0， 12345678910 11 12 13 答案 解析 12345678910 11 12 13 12345678910 11 12 13 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案 解析 所以ABC是等腰三角形，故选C. 12345678910 11 12 13 答案 解析 如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD， 则由平面向量的加法的几何意义得 12345678910 11 12 13 7.在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足 ，则 的值为_.4 答案 解析 由题意得，AP2，PM1， 12345678910 11 12 13 答案 解析 由三角形面积公式及已知条件知 12345678910 11 12 13 9.(2016江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，ACB90， ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则 _.4 由题意可建立如图所示的坐标系， 可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)， 答案 解析 12345678910 11 12 13 13 建立如图所示坐标系， 答案 解析 12345678910 11 12 13 11.(2016江西玉山一中模拟)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的 夹角为60. (1)若(kab)(ab)，求k的值； 解答 (kab)(ab)，(kab)(ab)0， ka2(k1)abb20， |a|1，|b|2，a，b60， 12345678910 11 12 13 (2)若|kab|2，求k的取值范围. 解答 k22k0，0k2. 12345678910 11 12 13 12.(2016西安八校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且2sin2 cos 2C1. (1)求角C的大小； 解答 2cos2Ccos C10， 12345678910 11 12 13 (2)若向量m(3a，b)，向量n(a， )，mn，(mn)(mn)16， 求a