七年级数学下册 课后补习班辅导 乘法公式及其拓展应用讲学案 苏科版

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线乘法公式及其拓展应用【本讲教育信息】一. 教学内容： 乘法公式及其拓展应用二. 重、难点： 1. 熟练掌握乘法公式，能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。 2. 理解乘法公式的拓展。三. 知识要点 1. 乘法公式及其结构特征 （1）平方差公式：（a+b）（ab）a2b2； 结构特征：公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差. （2）完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2. 结构特征：公式的左边是两个数的和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍. 说明： 公式可推广：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。 如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完全平方式。如，a22ab+b2=（ab）2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2，则a22ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。 2. 注意弄清乘法公式中的字母含义 公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以利用公式。例如： （2m+5n）（2m5n）=（2m）2（5n）2=4m225n2. （4x+3y）2=（4x）2+24x3y+（3y）2=16x2+24xy+9y2. 3. 注意运用公式容易出现的错误 在学习中不少同学经常出现如下错误： （1）（a+b）（a+b）=a2+b2； （2）（a+b）2a2+b2；（ab）2a2b2. 错误（1）的原因是模仿平方差公式所致，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的原因是与积的平方（ab）2=a2b2相混淆。对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到验证。 4. 注意掌握公式的形式变形 （1）平方差公式的常见变形： 1）位置变化：（a+b）（b+a）_； 2）符号变化：（ab）（ab）=_； 3）系数变化：（3a+2b）（3a2b）_； 4）指数变化：（a3+b2）（a3b2）_； 5）项数变化：（a+2bc）（a2b+c）=_； 6）连用变化：（a+b）（ab）（a2+b2）=_. （2）完全平方公式的常见变形： 1）a2+b2=（a+b）22ab=（ab）2+2ab； 2）（a+b）2+（ab）2=2（a2+b2）； 3）（a+b）2（ab）2=4ab. 5. 乘法公式立方差、立方和公式 a3+b3=（a+b）（a2ab +b2） a3b3=（ab）（a2+ab +b2）【典型例题】一. 变形后乘法公式 例1 .计算：（x22x）（x22x3） 分析：两个因式中都含有x22x，可以把它看成一个整体使计算较为简便。 解：原式=（x22x）23（x22x）=x44x3+4x23x2+6x=x44x3+x2+6x 例2. 计算 分析：表面看本题不能直接用公式计算，但注意到，便可用平方差公式计算。 解：原式 例3. 计算 分析：本题显然不符合立方和公式的特征，可考虑将因式中的常数项5拆成，使其符合立方和公式的形式后进行运算。 解：原式 二. 合理选用乘法公式 例4. 计算：（2a1）2（4a2+2a+1） 解法一：原式=（4a24a+1）（4a2+2a+1） =16a4+8a3+4a216a38a24a+4a2+2a+1=16a48a32a+1 解法二：原式=（2a1）（2a1）（4a2+2a+1） =（2a1）（8a31）=16a48a32a+1 说明：由于方法二将（2a1）与（4a2+2a+1）结合用立方差公式，显然较方法一简单。 例5. 计算 分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，显然后面的计算较繁杂，而先运用立方和（差）公式计算，然后运用平方差公式，能使问题直观、简单。 解：原式 三. 逆用乘法公式 不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一种很重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。 例6. 计算 分析：若先平方展开后再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则，再用乘方公式计算显得简捷。 解：原式 例7. 设为四边形的四边长且，试判别此四边形的形状。 解： 配方得： 即 四. 变用乘法公式 例8. 已知，求证：。 分析：利用变形式，即可得证。 证明：由得： 所以 得： 即 例9. 计算：（a+b+c）2+（a+bc）2+（ab+c）2+（ba+c）2 分析：若将三数和的平方全都展开是很复杂的，如果注意到完全平方公式可变换出（a+b）2+（ab）2=2a2+2b2=2（a2+b2）以及（a+b）2（ab）2=4ab等，再结合题目特点，往往能给解题带来很大方便。 解：原式=（a+b）+c2+（a+b）c2+c+（ab）2+c（ab）2 =2（a+b）2+2c2+2c2+2（ab）2=2（a+b）2+（ab）2+4c2 =2（2a2+2b2）+4c2=4a2+4b2+4c2五. 乘法公式的应用 例10. 若 ，求. 解：原式变形为 ， = 1（2）= 4. 说明：不仅会正向使用公式，还要学会逆用公式，才能不断提高运用公式的能力。 例11. 多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是_（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。 分析：许多同学解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式， 得出或 只要再动点脑筋，还会得出 故所加的单项式可以是，或，或，或等 例12. 甲、乙两人共同算一道整式乘法：，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为。（1）你能知道式子中a、b的值各是多少？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。 解：=； ； ，且， 解得 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A. （x+1）（1+x）B. （a+b）（b a） C. （a+b）（ab）D. （x2y）（x+y2） 2. 下列各式计算正确的是（） A. （a+4）（a4）=a24 B. （2a+3）（2a3）=2a29 C. （5ab+1）（5ab1）=25a2b21D. （a+2）（a4）=a28 3. （x+2y）（ x2y）的计算结果是（） A. x24y2 B. 4y2 x2 C. x2+4y2D. x24y2 4. （abc+1）（abc+1）（a2b2c2+1）的结果是（）。 A. a4b4c41B. 1a4b4c4 C. 1a4b4c4D. 1+a4b4c4 5. 下列各式计算中，结果错误的是（ ） A. a（4a+1）+（2a+b）（b2a）=a+b2. B. C. m2（5m+3n）（5m3n）+6（2mn）（n+2m）=3n2 D. 6. 利用乘法公式进行计算： （1）（x1）（x+1）（x2+1）（x4+1） （2）（3x+2）2（3x5）2 （3）（x2y+1）（x+2y1） （4）（2x+3y）2（2x3y）2 （5）（2x+3）22（2x+3）（3x2）+（3x2）2 （6）（x2+x+1）（x2x+1） 7. 化简（m+1）2（m2m+1）2（m6m3+1）2 8. 已知，求的值。 9. 计算（x23）（x4+2x2+9） 10. 已知：，求的值【试题答案】 1. B. （a+b）（ba）=（b+ a）（ba）。符合平方差公式的特点，故选B。 2. C. （a+4）（a4）=a242=a216, 故A错； （2a+3）（2a3）=（2a）232=4a29，故B错。 （5ab+1）（5ab1）=（5ab）212=25a2b21，故C正确； （a+2）（a4）=a2+（24）a+2（4）=a22a8，故D错。 3. A. 原式=（ x）2（2y）2= x24y2 4. B 原式=（1+abc）（1abc）（1+a2b2c2） =12（abc）2（1+a2b2c2） =（1a2b2c2）（1+a2b2c2） =1a4b4c4 5. D. 才正确，差一个符号。 6. 解：（1） 原式=（x21）（x2+1）（x4+1）=（x41）（x4+1）=x81 （2）解法1：原式=（9x2+12x+4）（9x230x+25）=9x2+12x+49x2+30x25=42x21 解法2：原式=（3x+2）+（3x5）（3x+2）（3x5）=（6x3）7=42x21. （3）原式=x（2y1）x+（2y1）=x2（2y1）2=x2（4y24y+1）=x24y2+4y1 （4）原式=（2x+3y）（2x3y）2=（4x29y2）2=16x472x2y2+81y4 （5）原式=（2x+3） （3x2）2=（x+5）2=x210x+25 （6）原式=（x2+1