高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_2 函数的单调性与最值课件 文 北师大版

2.2 函数的单调性与最值 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 (1)单调函数的定义 1.函数的单调性 知识梳理 增函数减函数 定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1 ，x2A 当x1f(x2) 图像 描述 自左向右看图像是_自左向右看图像是_上升的 下降的 (2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间A上是 或是 ，那么就称A为单调区间. 增加的减少的 2.函数的最值 前提函数yf(x)的定义域为D 条件 (1)存在x0D，使得 ； (2)对于任意xD，都有 . (3)存在x0D，使得 ； (4)对于任意xD，都有 . 结论M为最大值M为最小值 f(x0)Mf(x0)M f(x)Mf(x)M 函数单调性的常用结论 知识拓展 (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减 函数. (4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同 增异减”. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)0时，由题意得2a1(a1)2，即a2； 当a0)的单调增区间为_. 答案解析 函数的对称轴为x1， 又x0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，). (0，) 4.(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上是增函数，则实数 a的取值范围为_. 答案解析 (，1 函数f(x)x22ax3的图像开口向上，对称轴为直线xa， 画出草图如图所示. 由图像可知函数f(x)的单调递增区间是a，)， 由1,2a，)，可得a1. 几何画板展示 5.(教材改编)已知函数f(x) ，x2,6，则f(x)的最大值为_， 最小值为_.答案解析 2 题型分类 深度剖析 题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 答案解析 例1 (1)函数 的单调递增区间是 A.(0，) B.(，0) C.(2，) D.(，2) 因为 t0在定义域上是减少的， 所以求原函数的单调递增区间， 即求函数tx24的单调递减区间， 结合函数的定义域，可知所求区间为(，2). (2)yx22|x|3的单调递增区间为_. 答案解析 由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24； 当x0)，用定义法判断函数f(x)在(1,1)上的单 调性. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性 解答 设10，f(x1)f(x2)0， 函数f(x)在(1,1)上是减少的. 几何画板展示 引申探究 如何用导数法求解例2?解答 a0，f(x)0， 所以函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1)，故选C. 答案解析 题型二 函数的最值 例3 (1)函数f(x) 的最大值为_. 答案解析 当x1时，函数f(x) 为减函数， 所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1； 当x0恒成立，试求实数a的取值范围. 解答 ()当a0时，f(x)在1，)内为增函数. 最小值为f(1)a3. 要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30， 所以30，a3，所以01)的最小值为_. 答案解析8 令f(x)0，得x4或x2(舍去). 当14时，f(x)0，f(x)在(4，)上是增加的， 所以f(x)在x4处取到极小值也是最小值，即f(x)minf(4)8. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 例4 已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cba C.acb D.bac 答案解析 根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x1对称， 且在(1，)上是减函数， 命题点2 解函数不等式 例5 (2016珠海模拟)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上是增加 的，且f( )0，则满足 的x的集合为_. 由 得 或 答案解析 命题点3 求参数范围 例6 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是增加的，则实 数a的取值范围是答案解析几何画板展示 当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是增加的， 故在(，4)上是增加的； 当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x ， 因为f(x)在(，4)上是增加的， 答案解析 由已知条件得f(x)为增函数， 几何画板展示 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利 用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将 “f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. 视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与 已知单调区间比较求参数； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也 是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 跟踪训练3 (1)(2016太原模拟)已知函数f(x)x(ex )，若f(x1)x2 B.x1x20 C.x10时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数， 由f(x1)0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)0， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)0且a10，即a1. 12345678910 11 12 13 4.已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取 值范围是 A.(1，) B.4,8) C.(4,8) D.(1,8) 答案解析 12345678910 11 12 13 5.(2016兰州模拟)已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在 该区间上是增加的，则满足f(2x1)0且a1，设函数f(x) 的 最大值为1，则a的取值范围为_.答案解析 f(x)在(，3上是增函数，则f(x)max1. f(x)在R上的最大值为1， 0x20， x1x20， x1x20，x1x20， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， f(x)在(0，)上是增函数. 12345678910 11 12 13 解答 12.已知f(x)是定义在(0，)上的减函数，且满足f(x)f(y)f(xy). 12345678910 11 12 13 证明 12345678910 11 12 13 解答 12345678910 11 12 13 f(4)4，所以f(4)f(4)f(16)8，f(4)f(16)f(64)12. 即f(x(x12)f(64)，所以x(x12)64. 所以x212x64(x16)(x4)0， 得4x16，又x12，所以x(12,16. 故原不等式的解集为x|121时，x22xa0恒成立， 定义域为(0，)； 当a1时，定义域为x|x0且x1； 12345678910 11 12 13 (2)当a(1,4)时，求函数f(x