高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5_2 平面向量基本定理及坐标表示课件 文 北师大版

5.2 平面向量基本定理及坐标表示 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ，ab ， a ，|a| . 1.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，存在 一对实数1，2，使a . 其中，不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 . 知识梳理 不共线 唯一1e12e2 基底 (x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2) (x1，y1) (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， | | . 3.平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.ab . (x2x1，y2y1) x1y2x2y10 1.若a与b不共线，ab0，则0. 2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，则 知识拓展 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.( ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都 可被这组基底唯一表示.( ) (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成 .( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) 思考辨析 1.设e1，e2是平面内一组基底，那么 A.若实数1，2使1e12e20，则120 B.空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数) C.对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对 考点自测 答案 2.(教材改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1 的坐标为 A.(4,3) B.(4，3) C.(3，4) D.(3,4) a1a2an1an(3，4). 答案 解析 A.(7，4) B.(7,4) C.(1,4) D.(1,4) 答案 解析 4.已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则 _. 由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)， a2b(2,3)(2,4)(4，1). manb与a2b共线， 答案 解析 5.(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶 点D的坐标为_. 答案 解析 (1,5) 题型分类 深度剖析 例1 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点， AE的延长线与CD交于点F. 题型一 平面向量基本定理的应用 答案 解析 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三 角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该 基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 思维升华 答案 解析 例2 (1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于 题型二 平面向量的坐标运算 由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4). 答案 解析 (2)已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，则2ab等于 A.(4,0) B.(0,4) C.(4，8) D.(4,8) 因为向量a(1，2)，b(m,4)，且ab， 所以142m0，即m2， 所以2ab2(1，2)(2,4)(4，8). 答案 解析 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方 程思想的运用及正确使用运算法则. 思维升华 跟踪训练2 (1)(2016北京东城区模拟)向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若cab(， R)，则 _. 答案 解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正 方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)， 4 cab，(1，3)(1,1)(6,2)， 答案 解析 例3 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为 _. 命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 题型三 向量共线的坐标表示 答案 解析 (3,3) 所以点P的坐标为(3,3). 所以(x4)6y(2)0，解得xy3， 所以点P的坐标为(3,3). 命题点2 利用向量共线求参数 例4 (2016郑州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b( ，1sin )，若 ab，则锐角_. 又为锐角，45. 答案 解析45 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时 ，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1” 解题比较方便. (2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关 于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量. 思维升华 跟踪训练3 (1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶 点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_. 在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB， 答案 解析 即(4x,2y)(2，2)， (2,4) 答案 解析 典例 解析法(坐标法)在向量中的应用思想与方法系列11 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加 凸显向量的代数特征. 思想方法指导规范解答 解 以O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平 面直角坐标系，如图所示， 课时作业 在平行四边形ABCD中，M为CD的中点， 答案 解析 12345678910 11 12 13 12345678910 11 12 13 2.已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若 3a，则点N的坐标 为 A.(2,0) B.(3,6)C.(6,2) D.(2,0) 答案 解析 设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)， x2，y0. 3.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4).若为实数，(ab)c，则 等于 ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c， 12345678910 11 12 13 答案 解析 4.已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于 设cab，(1,2)(1,1)(1，1)， 答案 解析 12345678910 11 12 13 答案 解析 12345678910 11 12 13 12345678910 11 12 13 答案 解析 (3，5) 12345678910 11 12 13 答案 解析 8.设0 ，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _. ab，sin 21cos20， 2sin cos cos20， ，cos 0，2sin cos ， tan . 12345678910 11 12 13 答案 解析 9.在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点.若 其中，R，则_. 答案 解析 12345678910 11 12 13 *10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长 线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若 ，则mn的取值范围是_. 答案 解析(1,0) mk，nk(1)， mnk，从而mn(1,0). 12345678910 11 12 13 11.已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式； 12345678910 11 12 13 解答 2(b1)2(a1)0，即ab2. 点C的坐标为(5，3). 12345678910 11 12 13 解答 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8). 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42). 12345678910 11 12 13 (1)求3ab3c； 解答 (2)求满足ambnc的实数m，