概率论第一章习题解答.doc

1. 写出下列随机试验的样本空间：1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 解：1）设小班共有个学生，每个学生的成绩为到的整数，分别记为，则全班平均分为，于是样本空间为=2）所有的组合数共有种，3）至少射击一次，4）单位圆中的坐标满足，2. 已知，求，和.解 （因为）（因为，则）3. 设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：1） 只有一件次品；2） 最多1件次品；3） 至少1件次品. 解 1）设表示只有一件次品，.2)设为最多1件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次品，.3）设C表示至少1件次品，它的对立事件为没有一件次品，4. 盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码. （1）求最小号码为5的概率. （2）求最大号码为5的概率. 解1）若最小号码为5，则其余的2个球必从6，7，8，9，10号这5个球中取得。则它的概率为.2)若最大号码为5，则其余的2个球必从1，2，3，4号这4个球中取得。则它的概率为.5. 有a个白球，b个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止. 求最后是白球留在口袋中概率. 解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为A，另设想把球继续依次取完，设取到最后的一个球是白球这一事件为B，可以验证A=B， 显然.6. 一间学生寝室中住有6位同学，求下列事件的概率：1）6个人中至少有1人生日在10月份；2）6个人中有4人的生日在10月份；3）6个人中有4人的生日在同一月份. （假定每个人生日在同各个月份的可能性相同）解 1）设6个人中至少有1人生日在10月份这一事件为A；它的逆事件为没有一个人生日在10月份，生日不在10月份的概率为，则2）设6个人中有4人的生日在10月份这一事件为B，则.3) 设6个人中有4人的生日在同一月份这一事件为C. 则7. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解 设A和B分别表示甲和乙射中。C表示目标被射中，则.8. 某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%. 已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率5%. 一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率. 解 设A和B分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产，C表示产品为合格。则9. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率多少？解 设挑选到的人为男性和女性分别为A和B。另设某人是色盲患者为C。由已知条件，；则10. 甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5，0.7，又设敌机被击中1次，2次，3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1. 现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率. 解 设敌机被击中1次，2次，3次的事件分别为A，B，C. 敌机坠毁的事件为。则11. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4. 问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解 三人译出密码分别记为A，B，C。则即为所求事件（三人中至少有一人能将此密码译出）。它的对立事件为。又因为各人译出密码是相互独立的，则12. 甲袋中装有只白球、只红球；乙袋中装有只白球、只红球. 今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解 设从甲袋中取出白球记为A， 从乙取出白球记为B。13. 做一系列独立的试验，每次成功的概率为，求在成功次之前已经失败了次的概率.解 根据题意，试验在第n+m次是成功的（记为A），前n+m-1次中有m次是失败的（记为B）。而前n+m-1次中有m次失败是一个二项分布B（n+m-1,1-p）, 所求概率为14. 甲给乙打电话，但忘记了电话号码的最后1位数字，因而对最后1位数字就随机地拨号，若拨完整个电话号码算完成1次拨号，并假设乙的电话不占线. （1）求到第次才拨通乙的电话的概率；（2）求不超过次而拨通乙的电话的概率. （设）解 1）该问题相当于在09这十个数字中不放回抽样，第k次正好抽到所需的数字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果，第k次抽到的概率为1/10。2）第二个问题相当于一次性地抓了k个数字，所需数字正好在所抓的数字中这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到，所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目k成正比。设表示所需数字在所抓的k个数字中，其中C为常数。（或）可得出C=1/10。所以15. 将3个小球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1, 2, 3的概率.解 3个球随机放入4个盒子共有种放法。盒子中最多个数为1，相当于4个盒子中分别有1，1，1，0个球，这种情形的放法共有种（选一个空盒有4种选法，剩下的每盒有一个球相当于全排列）。故盒子中最多个数为3，相当于4个盒子中有一个盒子中有3个球，其它3个盒子没有球。它的放法共有种（选一个盒子，放入3个球）。故盒子中求的最多个数为2相当于排除以上2种情况而剩下来的情形。16. 设有一传输信道，若将三字母A, B, C分别输入信道, 输出为原字母的概率为, 输出为其它字母的概率为, 现将3个字母串AAAA, BBBB, CCCC分别输入信道,输入的分别为p1, p2, p3, 且p1+p2+p3=1,已知输出字母串为ABCA, 问输入为AAAA的概率是多少?解 17. 证明: 若, 则事件与相互独立.证明：，所以即即18. 某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒, 求该地区某校一个班的50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.解 设为学生携带有乙肝病毒，. 不携带有乙肝病毒为，50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是50名学生都不携带有乙肝病毒，P（50名学生都不携带有乙肝病毒）=。所以P（50名学