高中数学 2_4 逆变换与逆矩阵 2_4_2 二阶矩阵与二元一次方程组教学案 苏教版选修4-2

24.2二阶矩阵与二元一次方程组1把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A)adbc.2方程组写成矩阵形式为AZB，其中A，称为系数矩阵，Z，B，当A可逆时，方程组有唯一解，当A不可逆时，方程组无解或有无数组解3对于方程组，令D，Dx，Dy，当D0时，方程组有唯一组解，为x，y.4对于方程组，令D，当D0时，此方程组有非零解5二阶矩阵A可逆的充要条件是det(A)0且A1.求行列式的值例1求的最大值(其中R)思路点拨利用行列式的运算转化为二次函数求最值精解详析(2)(58)(22)(35)266(3)233，的最大值为3.(1)矩阵A与它的行列式det(A)的意义是不同的矩阵A不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A)是由矩阵A算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值(2)adbc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差1计算下列行列式的值：(1)；(2)解：(1)6(3)(5)28；(2)cos2 (sin2 )1.2若，求xy的值解：x2y22xyxy0.利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵例2已知A，B，判断AB是否可逆，若可逆求出逆矩阵思路点拨利用矩阵可逆的充要条件求解精解详析AB .因det(AB)1980，故AB可逆，(AB)1.已知矩阵A，利用行列式求矩阵A的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A)adbc，当det(A)0时，逆矩阵存在(2)利用A1，求出逆矩阵A1.3判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵(1)；(2)；(3).解：(1)二阶行列式1120，所以矩阵可逆，逆矩阵为.(2)二阶行列式10，所以矩阵可逆，逆矩阵为.(3)二阶行列式a，当a0时，矩阵不可逆，当a0时，矩阵可逆，逆矩阵为.4若矩阵A存在逆矩阵，求x的取值范围解：据题意det(A)0，即0.3x2540.x3.故x的取值范围是x|xR且x3.二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法例3分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组思路点拨求出相应行列式的值，利用x，y求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解精解详析法一：(行列式解法)D12210，Dx4610，Dy9110，故方程组的解为法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式 .令M，则其行列式det(M)34(1)(2)100，所以矩阵M存在逆矩阵M1，且M1，这样M1 .即方程组的解为利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式并写成矩阵形式(2)判定系数矩阵是否可逆，即看是否为零若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一(3)若可逆，求逆矩阵：(4)利用矩阵乘法求解：即计算.5利用行列式解下列方程组：(1)(2)解：(1)因为D34(3)(1)90，此方程组存在唯一解又Dx14(3)313，Dy331(1)10.所以x，y.故该方程组的解为(2)先将方程组改写成一般形式因为D20，此方程组存在唯一解又Dx6，Dy4，所以x3，y2.故该方程组的解为含参的齐次线性方程组解的讨论例4m为何值时，二元一次方程组 m有非零解？思路点拨先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解精解详析二元一次方程组 m，即为，即即 .当0，即(3m)(4m)20时，方程组有非零解当m时，方程有非零解齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为.6齐次线性方程组存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解解：因D440，所以存在非零解其中一组非零解为.7若关于x，y的二元一次方程组有非零解，求m的值解：D334m，令D0，则得m.1求下列行列式的值：(1)；(2).解：(1)35(1)215217.(2)28(72)2872100.2已知矩阵不可逆，求函数f(x)ax27x4的最小值解：矩阵不可逆，ax31a30，即a3，f(x)3x27x43(x2x)433(x)2.当x时，函数f(x)有最小值.3已知矩阵A，X，B，解方程AXB.解：因为|A|10，所以A的逆矩阵存在，且A1，所以XA1B.4已知二元一次方程组AZB，其中A是可逆矩阵，B，试证明该方程组的解只能是.证明：因为A是可逆矩阵，则原方程组的解为ZA1BA1，因为A1是唯一存在的，所以Z是原方程组唯一的解5分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组.解：法一：方程组可化为，D462，Dx20128，Dy6159，故方程组的解为法二：方程组用矩阵表示为 .故 6试写出齐次线性方程组的矩阵形式及该方程组的一组非零解解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为 ，26340，此齐次线性方程组有非零解如就是它的一组非零解7当为何值时，二元一次方程组 有非零解？解：由题意知二元一次方程组为即D(2)(3)2254，当D0即1或4时，二元一次方程组 有非零解8如果建立如下字母与数字的对应关系abcyz 1 2 3 25 26并且发送方按可逆矩阵A进行加密(1)若要发出信息work hard，试写出所要发送的密码；(2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息解：(1)若要发出信息work hard，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ，A ，A ，A ，于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40.(2)因为det(A)51231，所以A的逆矩阵A1.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A1对应的变换作用下的象， 可得A1 ，A1 ，A1 ，A1 .于是密码恢复成编码15,