高中数学 第二章 参数方程 一 3 参数方程和普通方程的互化教学案 新人教a版选修4-4

3.参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致 把曲线的普通方程化为参数方程例1根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1)1，xcos 1.(为参数)(2)x2yx10，xt1.(t为参数)解(1)将xcos 1代入1得：y2sin .(为参数)这就是所求的参数方程(2)将xt1代入x2yx10得：yx2x1(t1)2t11 t23t1(t为参数)这就是所求的参数方程普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价参数的选取不同，得到的参数方程是不同的如本例(2)，若令xtan (为参数)，则参数方程为(为参数)1求xy1满足下列条件的参数方程：(1)xt(t0)；(2)xtan (，kZ)解：(1)将xt代入xy1得：ty1，t0，y，(t为参数，t0)(2)将xtan 代入xy1得：y.(为参数，kZ).将参数方程化为普通方程例2将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)(2)(为参数)思路点拨(1)可采用代入法，由x1解出代入y表达式(2)采用三角恒等变换求解解(1)由x11，有x1，代入y12，得y2x3(x1)，这是以(1,1)为端点的一条射线(2)由得，22得1.消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围2方程表示的曲线是()A一条直线B两条射线C一条线段 D抛物线的一部分解析：t0时xt2当t0，xt(t)2.即曲线方程为y2(|x|2)，表示两条射线答案：B3把参数方程(为参数)化成普通方程是_解析：将xsin cos 两边平方得x21sin 2，即sin 21x2，代入ysin 2，得yx21.又xsin cos sin()，x，故普通方程为yx21(x)答案：yx21(x)一、选择题1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)解析：代入法，将方程化为yx2，但x2,3，y0,1，故选C.答案：C2参数方程(为参数)表示的曲线是()A直线 B圆C线段 D射线解析：xcos20,1，ysin20,1，xy1，(x0,1)为线段答案：C3能化为普通方程x2y10的参数方程为()A. B.C. D.解析：对A，可化为x2y1(y0,1)；对B，可化为x2y10；对C，可化为x2y10(x0)；对D，可化为y24x24x4.(x1,1)答案：B4(北京高考)曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上解析：将(为参数)化为普通方程为(x1)2(y2)21，其表示以(1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(1,2)在直线y2x上，故选B.答案：B二、填空题5参数方程(为参数)所表示的曲线的普通方程为_解析：由于cos 212sin2，故y12x2，即y2x21(1x1)答案：y2x21(1x1)6将参数方程(t为参数)化为普通方程为_解析：yt2(t)22x22.又yt22，故所求普通方程为x2y2(y2)答案：x2y2(y2)7(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_解析：曲线C的直角坐标方程是(x1)2y21，其参数方程为(为参数)答案：(为参数)三、解答题8指出下列参数方程表示什么曲线(1)(0)(2)(t2)解：(1)由，得x2y29，又0.3x3.0y3.所求方程为x2y29(0y3)这是一个半圆(圆x2y29在x轴上方的部分)(2)由得：1.t22x2.3y0.所求方程为：1(3y0)它表示半个椭圆.9如图所示，经过圆x2y24上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程解：圆x2y24的参数方程为(为参数)在此圆上任取一点P(2cos ，2sin )，PQ的中点为M(2cos ，sin )，PQ中点轨迹的参数方程为(为参数)化成普通方程y21.10已知曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的极坐标方程为2cos 6sin .(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由解：(1)由(为参数)得(x2)2y210.曲线C1的普通方程为(x2)2y210.2cos 6sin ，22cos 6sin .x2y22x6y，即(x1)2(y3)210.曲线C2的直角坐标方程为(x1)2(y3)210.(2)圆C1的圆心为(2,0)，圆C2的圆心为(1,3)，|C1C2|32，两圆相交设相交弦长为