高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2_2 双曲线的几何性质教学案 新人教b版选修1-1

22.2双曲线的几何性质学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识链接类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1 (a0，b0)的哪些几何性质？答案(1)范围：xa或xa；(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(a,0)，A2(a,0)预习导引1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率为.要点一已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.规律方法讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质跟踪演练1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率解将方程x23y2120化为标准方程1，a24，b212，a2，b2，c4.双曲线的实轴长2a4，虚轴长2b4.焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)，渐近线方程为yx，离心率e2.要点二根据双曲线的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b12，故其标准方程为1.(2)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.规律方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21 (mn0)，从而直接求得若已知双曲线的渐近线方程为yx，还可以将方程设为 (0)，避免讨论焦点的位置跟踪演练2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,9)，离心率e；(2)过点P(2，1)，渐近线方程是y3x.解(1)e2，得，设a29k(k0)，则c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线方程为1或1把(3,9)代入，得k161与k0矛盾，无解；把(3,9)代入，得k9，故所求双曲线方程为1.(2)方法一(首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，1)在渐近线y3x的上方还是下方)如图所示，x2与y3x交点为Q(2，6)，P(2，1)在Q(2，6)的上方，所以焦点在x轴上设双曲线方程为1 (a0，b0)依题意，得，解得.所求双曲线方程为1.方法二由渐近线方程y3x，可设所求双曲线方程为x2 (0)(*)将点P(2，1)的坐标代入(*)，得，所求双曲线方程为1.要点三直线与双曲线的位置关系例3直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m.由(*)式得24m2240，把m代入上式，得0，m的值为.所求l的方程为y2x.规律方法直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解跟踪演练3设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值解(1)将yx1代入双曲线方程y21(a0)中得(1a2)x22a2x2a20.依题意0a0，解得a.1已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2B.C.D1答案D解析由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.2若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析因为0k0，b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()A(，) B(1，)C(2，) D(1,2)答案C解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x.依题意，在双曲线1 (a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x与右支有两个交点，故应满足a，即2，得e2.4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析双曲线的渐近线方程为yx，因为一条渐近线与直线y2x10平行，所以2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上，可知左焦点(c,0)在该直线上，所以2c100.所以c5.由得故双曲线方程为1.1.渐近线是双曲线特有的性质，把双曲线的标准方程1 (a0，b0)右边的常数1换为0，就是其渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一步对圆锥曲线来说，渐近线是双曲