高中数学 第一章 立体几何初步 1_1_7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教b版必修21

11.7柱、锥、台和球的体积学习目标1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式知识点一祖暅原理思考取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？梳理祖暅原理的含义及应用(1)内容：幂势既同，则积不容异(2)含义：夹在_的两个几何体，被平行于这两个平面的_所截，如果截得的_，那么这两个几何体的体积相等(3)应用：_的两个柱体或锥体的体积相等知识点二柱、锥、台、球的体积公式思考已知直四棱柱A1B1C1D1ABCD，底面ABCD为矩形ABa，ADb，AA1c，则四棱柱A1B1C1D1ABCD与三棱锥A1ABCD的体积分别为多少？梳理柱、锥、台、球的体积公式名称体积(V)柱体棱柱圆柱锥体棱锥圆锥台体棱台圆台球其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径类型一柱体、锥体、台体的体积例1一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A22 B42C2 D4反思与感悟(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积类型二球的体积例2(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为_反思与感悟(1)求球的体积，关键是求球的半径R.(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等跟踪训练2(1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是()A12 cm3 B36 cm3C64 cm3 D108 cm3(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C.a2 D5a2类型三几何体体积的求法例3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_反思与感悟(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积(2)利用等体积法可求点到平面的距离跟踪训练3如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.例4如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积反思与感悟当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积跟踪训练4如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A. B.C. D.2一个球的表面积是16，则它的体积是()A64 B.C32 D.3现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降()A0.6 cm B0.15 cmC1.2 cm D0.3 cm4圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A. B.C64 D1285某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_1计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面2在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题答案精析问题导学知识点一思考体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等梳理(2)两个平行平面间任意平面两个截面的面积总相等(3)等底面积、等高知识点二思考abc，abc.梳理VShVr2hVShVr2hVh(S S)Vh(r2rrr2)VR3题型探究例1C该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为()2，所以该几何体的体积为2.跟踪训练1(1)解析根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱故该几何体的体积V222124(m3)(2)解如图，在三棱台ABCABC中，取上、下底面的中心分别为O，O，BC，BC的中点分别为D，D，则DD是梯形BCCB的高所以S侧3(2030)DD75DD.又因为AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO 4(cm)由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(S上S下)(2023022030)1 900(cm3)例2(1)A作出该球轴的截面如图所示，依题意BE2，AECE4，设DEx，故AD2x，因为AD2AE2DE2，解得x3，故该球的半径AD5，所以VR3 (cm3)(2)a3解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为a，得球的半径为a，V(a)3a3.跟踪训练2(1)B设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半径ROA3(cm)，球的体积V3336(cm3)(2)B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知APaa，OPa，所以球的半径R满足R2OA2(a)2(a)2a2，故S球4R2a2.例3解析111.跟踪训练3解在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，a2aaad，da.例4解如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积V四棱锥EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF，V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.跟踪训练4解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.当堂训练1D2.D3.A4.A51616解析由