高中数学 第二章 参数方程 4 平摆线和渐开线学案 北师大版选修4-4

4 平摆线和渐开线对应学生用书P351平摆线(1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)(2)摆线的参数方程：定点M在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r，圆在x轴上滚动，开始时点M在原点O(如图)设圆转动的角度为时，圆和x轴的切点是S，圆心是N，M的坐标为(x，y)，取角度为参数连接NM，NS，过M作x轴的垂线MP，垂足为点P，过M作NS的垂线MQ，垂足为Q.因为MNQ，所以OSr.这就是圆周上的定点M在圆N沿直线滚动过程中满足的几何条件摆线的参数方程：如图(1)，由分析可得：xOPOSPSMQrrsin r(sin )，yPMSQSNQNrrcos r(1cos )图(1)所以摆线的参数方程是(0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin )，而得xr(2ksin2k)又因为x2，所以r(2ksin2k)2，即得r(kZ)又由实际可知r0，所以r(kN)易知，当k1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(为参数)圆的渐开线的参数方程为(为参数)根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程，关键记住推导圆的平摆线、渐开线的参数方程的过程及得到的方程，确定出待定系数即可1基圆直径为10，求其渐开线的参数方程解：取为参数，为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角直径为10，半径r5.代入圆的渐开线的参数方程得：(为参数)这就是所求的圆的渐开线的参数方程.圆的平摆线、渐开线参数方程的应用例2设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴思路点拨本题考查圆的平摆线参数方程的应用，解答此题需要根据(为参数)，确定出r，的值，再求y的最值及对称轴即可精解详析轨迹曲线的参数方程为(02)，即时，即x8时，y有最大值16.第一拱(02)的对称轴为x8.1根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数是指绳子外端运动时绳子上的定点P相对于圆心的张角如图，其中的AOB即是角.显然点P由参数唯一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单2根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况2给出圆的渐开线的参数方程(为参数)根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，当参数取时对应的曲线上的点的坐标是_解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为所以基圆半径r4.然后把代入方程，可得即所以当参数取时，对应的曲线上的点的坐标是(2，4)答案：4(2，4)对应学生用书P36一、选择题1.如图为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当AOB时，圆的渐开线上的点M到基圆上B点的距离为()A.B.C. D解析：选B由圆的渐开线的形成过程知|BM|2.2. 平摆线(02)与直线y2的交点的直角坐标是()A(2,2) B(32,2)C(2,2)或(32,2) D(3,5)解析：选C由y2得22(1cos )，cos 0.02，或.x122，x2232.交点的直角坐标为(2,2)或(32,2)3已知平摆线的参数方程(为参数)，则摆线上的点(4，0)对应的参数的值是()A B2C4 D3解析：选B因由得cos 1.2k(kZ)代入得2(2ksin 2k)4k(kZ)，即2k2(kZ)，所以取k1，此时2，因此点(4，0)对应的参数值为2.4如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A3 B4C5 D6解析：选C根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.二、填空题5已知圆的方程为x2y24，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为_解析：由题意，圆的半径r2，其渐开线的参数方程为(为参数)当时，x，y2，故点P的坐标为(，2)答案：(，2)6已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的坐标为.答案：27渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0)答案：(6，0)和(6，0)8我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换答案：(为参数)三、解答题9已知一个圆的平摆线方程是(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程解：首先根据平摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16，该圆对应的渐开线参数方程是(为参数)10已知圆C的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程(3)求平摆线和x轴的交点解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是(为参数)(3)令y0，得66cos 0cos 1，所以2k(kZ)代入x66sin ，得x12k(kZ)，即圆的平摆线和x轴的交点为(12k，0)(kZ)11有一个直径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M与轮子中