高中数学 第二章 平面解析几何初步 2_3_2 圆的一般方程学案 新人教b版必修21

23.2圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程知识点圆的一般方程思考1方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？思考2方程x2y2DxEyF0是否表示圆？梳理方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0表示以(，)为圆心，以为半径的圆类型一圆的一般方程的概念例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径反思与感悟形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2E24F0成立，则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解跟踪训练1(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_(2)点M、N在圆x2y2kx2y40上，且点M、N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_类型二求圆的一般方程例2已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)(1)求ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值引申探究若本例中将点“C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程类型三求轨迹方程例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点跟踪训练3已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程1圆x2y22x6y80的面积为()A8 B4C2 D2若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()Axy30 Bxy30C2xy60 D2xy603方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()Am2 BmCm2 Dm4方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A2,4,4 B2，4,4C2，4,4 D2，4，45.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程1判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆此时判断D2E24F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数2待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.3求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设动点M的坐标(x，y)(2)列出点M满足条件的集合(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)0.(4)将上述方程化简(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点答案精析问题导学知识点思考1对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，不表示任何图形思考2对方程x2y2DxEyF0配方并移项，得(x)2(y)2.当D2E24F0时，方程表示以(，)为圆心，为半径的圆；当D2E24F0时，方程只有实数解x，y，它表示一个点(，)；当D2E24F0时，方程无实数解，它不表示任何图形题型探究例1解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m，即实数m的取值范围为(，)圆心坐标为(m,1)，半径为.跟踪训练1(1)(2，4)5(2)9解析(1)由圆的一般方程知，a2a2，得a2或1.当a2时，该方程可化为x2y2x2y0，D2E24F122240，a2不符合题意；当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心坐标为(2，4)，半径为5.(2)圆x2y2kx2y40的圆心坐标为(，1)，由圆的性质知，直线xy10经过圆心，110，得k4，圆x2y24x2y40的半径为3，该圆的面积为9.例2解(1)设ABC外接圆的一般方程为x2y2DxEyF0，由题意，得解得即ABC的外接圆的一般方程为x2y28x2y120.(2)由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或a6.引申探究解kAB，AB的中点坐标为(，)，AB的垂直平分线方程为y3(x)联立方程得即圆心C的坐标为(，)，r ，圆C的方程为(x)2(y)2.跟踪训练2解方法一(待定系数法)设圆的一般方程方程为x2y2DxEyF0，将P，Q点的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知，得|y1y2|4，其中y1，y2是方程的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立，解得或故圆的一般方程为x2y22x120或x2y210x8y40.方法二(几何法)由题意，得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径r|CP|.由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，r2a2()2，代入整理得a26a50，解得a1或a5，r或r.故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.例3解(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D(，)又kAB3，所以km，所以直线m的方程为x3y30.由得圆心C(3，2)，则半径r|CA|5，所以圆C的方程为(x3)2(y2)225.(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)因为点P的坐标为(5,0)，所以即又点Q(x0，y0)在圆C：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2.即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x1)2(y1)2.跟踪训练3解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)当堂训练1C2.C3.B4.A5解设点B坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4，3，于是有x08x ，y06y.因为点A在圆(x1)2