高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 突破点5 数列的通项与求和学案 文

突破点5数列的通项与求和核心知识提炼提炼1 an与Sn的关系若an为数列an的通项，Sn为其前n项和，则有an在使用这个关系式时，一定要注意区分n1，n2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.提炼2 求数列通项常用的方法(1)定义法：形如an1anc(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列(2)叠加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(3)叠乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通项公式(4)待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再转化为等比数列求解(5)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得，构造新数列bn，得bn1bn，接下来用待定系数法求解.提炼3 数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法、错位相减法是常用的两种方法高考真题回访回访1an与an1的关系1(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_.an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.回访2数列求和2(2012全国卷)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690 B3 660 C1 845 D1 830Dan1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.3(2013全国卷改编)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.则(1)an的通项公式为_；(2)数列的前n项和为_(1)an2n(2)(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.4(2014全国卷改编)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根，则(1)an的通项公式为_；(2)数列的前n项和为_(1)ann1(2)2(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.热点题型1数列中an与Sn的关系数列中的an与Sn的关系题型分析：以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力【例1】(1)(2017郑州模拟)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.1121由解得a11，a23，当n2时，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an.又a23a1，an是首项为1，公比为3的等比数列Sn(3n1)，S5121.(2)数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)求数列an的通项公式 解由已知，当n2时，1，所以1，2分即1，所以4分又S1a11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，6分所以1(n1)，即Sn8分所以当n2时，anSnSn110分因此an12分方法指津给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通项公式时，务必验证n1时的情形变式训练1 (1)已知数列an前n项和为Sn，若Sn2an2n ，则Sn_.(2)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn23an(nN*)，则an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得当n1时，S1a12；当n2时，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则n，Snn2n(n2)，当n1时，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因为2Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.当n1时，22S13a1，所以a12，所以数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以an23n1(nN*)热点题型2裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和【例2】已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比数列， (1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解 (1)由已知及等差数列的性质得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比数列，所以aa2a222分所以(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d44分故数列an的通项公式为an4n2，nN*6分(2)证明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn10分又TnT1 ，所以Tn12分方法指津裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常见的裂项方式有：(1)；(2)；(3)()提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数变式训练2(名师押题)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn. 解 (1)由题设知a1a4a2a38，2分又a1a49，可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n16分(2)Sn2n18分又bn，10分所以Tnb1b2bn112分热点题型3错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练【例3】设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解 (1)由题意有即2分解得或4分故或6分(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.8分可得Tn23，10分故Tn612分方法指津运用错位相减法求和应注意：一是判断模型，即判断数列an，bn中一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，一般先乘公比，再把前n项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；三是相减，相减时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心提醒：为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证变式训练3已知在公比大于1的等比数列an中，a2，a4是函数f(x)(x2)(x8)的两个零点(1)求数列an 的通项公式；(2)求数列2nan的前n项和Sn. 解 (1)因为a2，a4是函数f(x)(x2)(x8)的两个零点，且等比数列an的公比q大于1，所以a22，a48，2分所以q2，所以数列an的通项公式为an2n1(nN*)6分(2)由(1)知