高考数学 数学思想的应用情形归纳 第18讲 分类讨论思想情形之16-201

第18讲：分类讨论思想情形之16-20【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.四、本讲讲了分类讨论思想情形之16-20, 情形16：指数函数的底数大小不确定要分和讨论；情形17：对数函数的底数大小不确定要分和讨论.；情形18：去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性要分类讨论；情形19：由于实际问题是分段函数所以相关函数要分类讨论；情形20：复合函数由于有参数导致单调性不能确定所以要分类讨论.【方法讲评】分类讨论情形16指数函数的底数大小不确定要分和讨论.【例1】已知函数，其中，且.（1）若，求满足不等式的的取值的集合；（2）求关于的不等式的解的集合.【解析】（1）由不等式得 因为，所以，解得， 即所求解集为 【点评】（1）由于指数函数的单调性要分两种情况讨论，所以解不等式时，必须把分两种情况讨论，才能利用指数函数的单调性把指数不等式化程一元二次不等式.（2）指数函数和对数函数，当底数与的大小关系不确定时，常要分类讨论.【反馈检测1】已知函数在区间-1,2上的最大值是最小值的8倍（）求的值；（）当时，解不等式分类讨论情形17对数函数的底数大小不确定要分和讨论.【例2】已知（）求函数的定义域； （）证明函数为奇函数；（）求使0成立的x的取值范围【解析】（）解：， 解得 函数的定义域为. （）证明：，且定义域为（1，1）关于原点对称 函数为奇函数【点评】(1由于指数函数的单调性要分两种情况讨论，所以解不等式时，必须把分两种情况讨论，才能利用对数函数的单调性把指数不等式化程分式不等式. （2）指数函数和对数函数，当底数与的大小关系不确定时，常要分类讨论.【反馈检测2】已知函数，函数（，且）（1）求函数的定义域；（2）求使函数的值为负数的的取值范围.分类讨论情形18去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性要分类讨论.【例3】已知函数.（）若，解不等式；（） 若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.（2）不等式等价于，即，由绝对值三角不等式知. 若存在实数，使得不等式成立，则，解得，所以实数的取值范围是. 【点评】（1）不等式中，绝对值有两个零点，它们把函数的定义域分成三个部分，所以要去掉绝对值必须分成三个部分来讨论,即分三种情况讨论.(2)第2问化简成后要注意，本题是一个存在性问题，不是恒成立问题，所以不是左边函数的最小值不小于右边函数，而是左边函数的最大值不小于右边函数，所以要利用绝对值三角不等式求左边函数的最大值. 【反馈检测3】已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.分类讨论情形19由于实际问题是分段函数所以相关函数要分类讨论.【例4】为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品（）当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？（1）当时，所以，因为，所以当时，为减函数；当时，为增函数，所以当时，取得极小值 （2）当时，当且仅当，即时，取最小值， 因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少 【点评】（1）由于处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系是一个分段函数，所以二氧化碳的每吨平均处理成本也应该是一个分段函数，因为每吨的平均处理成本为.（2）由于平均处理成本是一个分段函数，所以先要求出每一段的最小值，再求整个函数的最小值.上面一段用导数求最小值比较方便，下面一段用基本不等式求最小值.【反馈检测4】已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入27万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？分类讨论情形20复合函数由于有参数导致单调性不能确定所以要分类讨论.【例5】已知函数的定义域为，值域为，求和的值【点评】（1）函数是一个复合函数，不是取最大值时，函数最大，因为它的前面还有个“ ”，而“”的符号不确定，直接影响了函数的最值，所以要分类讨论. 分讨论.（2）对于含有字母参数的数学问题，大家要提高警惕，认真分析，不能麻痹大意，一蹴而就，否则容易出现错误. 【反馈检测5】已知的定义域是，值域是，求和的值. 分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳 第04讲：分类讨论思想情形之16-20参考答案【反馈检测1答案】（1）或；（2）；【反馈检测1详细解析】（）当时，则，解得；当时，则，解得；综上或；（）当时，由前知，不等式，即为，得解集为；【反馈检测2答案】（1）;（2） . 综上所述：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是 【反馈检测3答案】（1）；（2）.【反馈检测3详细解析】（1）当时，上述不等式化为，或，或，解得，或 ，或 .或或，所以原不等式的解集为.（2）的解集包含当时，不等式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，的取值范围是.【反馈检测4答案】（1）；（2）当年产量为9万件时利润最大为万元.【反馈检测4详细解析】（1