高中数学 第二章 数列 2_3_2 等比数列的前n项和（二）学案 新人教b版必修51

2.3.2等比数列的前n项和(二)学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n11呢？梳理当公比q1时，设A，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1)当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数知识点二等比数列前n项和的性质思考若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？梳理等比数列an前n项和的三个常用性质(1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN)(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)知识点三错位相减法思考在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列an的前n项和Sna1a2an的？梳理如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，一般使用如下方法：Sna1b1a2b2anbn，qSna1b1qa2b2qanbnq a1b2a2b3anbn1，得(1q)Sna1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1danbn1，Snd.上述方法称为“错位相减法”类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C是等差数列或等比数列D既非等差数列，也非等比数列反思与感悟(1)已知Sn，通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质跟踪训练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.命题角度2不连续n项之和问题例3已知等比数列an的公比q，则等于()A3 BC3 D.反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1ba2ba3ba6_.类型三错位相减法求和例4求数列的前n项和反思与感悟一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法跟踪训练4求和：Snx2x23x3nxn (x0)1一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则最底层所点灯的盏数是()A190 B191C192 D1932已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为()A. BC. D3一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为()A180 B108 C75 D634在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_.1在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断2等比数列前n项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论(2)函数思想：等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解答案精析问题导学知识点一思考当Sn2n1时，an2n1(nN)，是等比数列；当Sn2n11时，an不是等比数列知识点二思考设an的公比为q，则Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.知识点三思考在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可题型探究类型一例1B当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式，an(a1)an1，nN.a，数列an是等比数列跟踪训练1类型二命题角度1例2证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列的性质SmnSmqmSn，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)跟踪训练2解因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以S3n6463.命题角度2例3Aa2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)3.跟踪训练3272类型三例4解设Sn，则有Sn，两式相减，得SnSn，即Sn1.Sn22.跟踪训练4解当x1时，Sn123n；当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1，Sn.综上可得Sn当堂训练1C2.C3.D4.1问题导学知识点一思考当Sn2n1时，an2n1(nN)，是等比数列；当Sn2n11时，an不是等比数列知识点二思考设an的公比为q，则Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.知识点三思考在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可题型探究类型一例1B当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式，an(a1)an1，nN.a，数列an是等比数列跟踪训练1类型二命题角度1例2证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列的性质SmnSmqmSn，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)跟踪训练2解因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以S3n6463.命题角度2例3Aa2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)3.跟踪训练3272类型三例4解设Sn，则有Sn，两式相减，得SnSn，即Sn1.Sn22.跟踪训练4解当