高中数学 第四章 导数应用章末复习课学案 北师大版选修1-1

第四章 导数应用学习目标1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题知识点一函数的单调性、极值与导数1函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果_，那么函数yf(x)在这个区间内是增加的；如果_，那么函数yf(x)在这个区间内是减少的2函数的极值与导数(1)极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，_，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；(2)极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，_，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值知识点二求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤1求函数yf(x)在(a，b)内的_2将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值类型一导数中的数形结合思想例1已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图像大致是()反思与感悟研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪训练1函数f(x)ln xx2的大致图像是()类型二构造函数求解命题角度1比较函数值的大小例2已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，若af()，bf()，c(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系正确的是()Aacb Bbca Cabc Dcab反思与感悟本例中根据条件构造函数g(x)xf(x)，通过g(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数跟踪训练2设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)命题角度2求解不等式例3定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)2ex的解集为()A(，0) B(，2)C(0，) D(2，)反思与感悟根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围跟踪训练3函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)类型三利用导数研究函数的极值与最值例4已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围反思与感悟(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练4已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图像关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值类型四导数的综合应用例5已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f(x)不能恒等于0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定跟踪训练5(1)若函数f(x)4x3ax3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？(2)若函数f(x)4x3ax3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？1已知函数f(x)x3bx2cx的图像如图所示，则xx等于()A. B.C. D.2已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若a0)，若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法答案精析知识梳理知识点一1f(x)0f(x)0f(x)0(2)f(x)0知识点二1极值2端点处函数值f(a)，f(b)题型探究例1C当0x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上为减函数，排除A、B选项当1x0，f(x)0，故yf(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.跟踪训练1B函数f(x)ln xx2的定义域为(0，)，f(x)x.令f(x)0，得0.又因为x0，所以(1x)(1x)0，所以0x1.同理，令f(x)1.于是当0x1时，函数f(x)是减函数；当x1时，f(x)0.结合以上特征可知应选B.例2B令g(x)xf(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0，当x0.g(x)在(0，)上是减函数ln 21，g()g(ln 2)g()g(x)是偶函数，g()g()，g(ln )g(ln 2)，g()g(ln )g()故选B.跟踪训练2C由条件，得0，在(a，b)上是减函数f(b)g(x)例3C设g(x)，则g(x).f(x)0，即函数g(x)单调递增f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)g(0)函数g(x)单调递增，x0，即不等式的解集为(0，)，故选C.跟踪训练3B令g(x)f(x)2x4，f(x)2，则g(x)f(x)20.又由g(1)f(1)2(1)40，得g(x)0，即g(x)g(1)的解为x1，f(x)2x4的解集为(1，)例4解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)当x1,2)时，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.即实数c的取值范围为(2,0跟踪训练4解(1)函数f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24.令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上是减少的，在4,5上是增加的，f(4)128，f(1)47，f(5)115，函数的最大值为47，最小值为128.例5解(1)f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立，即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是减少的，即a3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，且a的取值范围是3，)跟踪训练5解(1)f(x)12x2a，f(x)的单调递减区间为，x为f(x)0的两个根，a3.(2)若f(x)在上为单调增函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)min0.当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0)a0符合题意若f(x)在上为单