高考数学 数学思想的应用情形归纳 第10讲 数形结合思想情形之05-091

第10讲：数形结合思想情形之5-9【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离. ”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法. 因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起来分析解答数学问题，以形助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则.四、本讲讲了数形结合思想情形之5-9,情形5：差的平方和表示点和点两点间的距离的平方；情形6：一元一次不等式、和二元一次不等式,都表示直线一侧的平面区域；情形7：线性目标函数斜率为纵截距为的直线；情形8：不等式组表示直角坐标系下的平面区域；情形9：方程表示直线.【方法讲评】数形结合情形五数形差的平方和表示点和点两点间的距离的平方【例1】已知实数满足条件给出下列四个命题:则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【点评】（1）目标函数 表示坐标原点与可行域内的点的距离的平方，其最小值为原点到直线距离的平方，不是原点到点（-1,0）的距离的平方.不要总以为最值总在顶点处取得.其最大值为原点与交点 之间的距离的平方.（2）表示点和点两点间的距离的平方，所以找到两点间的距离的最值后，别忘了平方.【反馈检测1】求函数的值域.【反馈检测2】设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 数形结合情形六数形一元一次不等式或,二元一次不等式.一元一次不等式或,二元一次不等式,都表示直线一侧的平面区域.【例2】设不等式组表示的平面区域为，若圆不经过区域上的点，则的取值范围是( )A BC D【点评】（1）由于本题中有不等式组和平面区域，所以联想到线性规划数形结合来解答. （2）本题主要采用了数形结合的思想分析解答,当半径或时，圆不经过区域上的点，比较直观高效.一般以几何为背景的数学问题，都要联想到数形结合.【反馈检测3】直线与不等式组表示的区域没有公共点，则的取值范围是 数形结合情形七数形线性目标函数线性目标函数对应斜率为纵截距为的直线.【例3】已知满足约束条件,若目标函数的最大值为，则（ ）A. 有最小值 B. 有最大值C. 有最小值 D. 有最大值【点评】（1）作不等式对应的平面区域是本题的一个关键，直线过定点（1,5），而点（1,5）恰好在直线上，直线的斜率为大于直线的斜率1，这些都是我们要观察到的重要信息，否则很难突破.(2)由于有，且，所以本题利用到了基本不等式求最值中的常量代换技巧，所以我们平时学习要注意积累，才能保证我们才考试时提高解题效率.【例4】已知点满足，目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的范围为 （ ）A. B. C. D. 方法二：目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，所以点的函数值都比点的函数值小，即，解之得.【点评】（1）目标函数，它表示的是斜率为，纵截距为的直线，但是斜率的正负不确定，所以要分类讨论.但是本题没有分类讨论，直接数形结合分析出了目标直线的位置，优化了解题，提高了解题效率. 当然分类讨论的结果也是一样的，只不过稍微复杂一点.（2）方法二解不等式组也是一个简洁高效的方法,减轻了学生理解的负担和画图的繁琐. 两种方法各有其妙. 【反馈检测4】若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数_数形结合情形八数形不等式组不等式组表示直角坐标系下的平面区域.【例5】若实数满足不等式组，且的最大值为3，则实数=（ ）A-1 B C1 D2可得，（）而目标函数可看作是直线在y轴上的截距，显然当直线过点时，截距最大，即最大，所以有，解得方法二：数形结合分析得三线、共点，解方程组 得=1.【点评】（1）作不等式对应的平面区域用的是特值法. （令，不等式为，它表示直线左上方的区域，则取其它值时，对应的平面区域也是直线左上方的区域）(2)利用特值法计算比较难，利用三线共点解方程组，计算就比较简单，解题效率高. 但是这种方法对分析能力要求较高. 【反馈检测5】已知实数，满足不等式组若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.数形结合情形九数形方程，,，.方程表示直线，表示过点斜率为的直线,表示斜率为纵截距为的直线, 表示横截距为纵截距为的直线，表示过两点的直线.【例6】已知圆，直线求证：对，直线与圆总有两个不同的交点 【点评】对于本题，如果利用代数的方法，利用判别式，计算量比较大. 如果利用几何的方法， 比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小，计算量也不小，难度较大. 但是如果找到直线所经过的定点，就比较容易判断直线和圆的关系.（2）当直线中含有参数时，都要注意考虑直线是否过定点，可以利用分离参数法和赋值法. 【反馈检测6】已知动直线与圆（1）求证：无论为何值，直线总过定点，并说明直线与圆总相交；（2）为何值时，直线被圆所截得的弦长最小？请求出该最小值数学思想在高中数学教学中的应用情形归纳第02讲：数形结合思想情形之5-9参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测2答案】D【反馈检测2详细解析】不等式组所表示的平面区域如图所示，记点，由知， 的最小值为点到直线的距离，即.故选D.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】不等式组表示的区域如下图所示：因为直线 所以，所以直线过定点，【反馈检测5答案】D【反馈检测5详细解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，即，解得.【反馈检测6答案】（1