高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1_2_3 弦切角定理学案 新人教b版选修4-1

12.3弦切角定理对应学生用书P22读教材填要点1弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角2弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半3弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角小问题大思维一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定弦切角必须同时具备三点：顶点在圆上；一边和圆相交；一边和圆相切对应学生用书P23弦切角的定义例1如图，AB、CB分别切O于D、E，试写出图中所有的弦切角思路点拨本题考查弦切角的定义解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断精解详析由弦切角的定义可知，ADE、BDE、BED、CED都是弦切角解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)三者缺一不可，例如上图中，CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角1如图，NA与O切于点A，AB和AD是O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部即BAN、CAN、DAN为弦切角.弦切角定理及其推论例2已知：AB切O于A，OB交O于C，ADOB于D.求证：DACCAB.思路点拨本题考查弦切角定理的应用解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决精解详析法一：如图(1)，延长AD交O于E，AB切O于A，CDAE，.又DAC的度数的度数CAB的度数的度数DACCAB.法二：如图(2)，延长BO交O于E，连接AE，则CAE90.又ADCE，DACE.AB是O的切线，CABE.DACCAB.法三：如图(3)，连接OA.AB切O于A，OAAB.CAB与OAC互余又ADOB，DAC与ACO互余OAOC，OACACO.DACCAB.法四：如图(4)，过C作O的切线交AB于GAB是O的切线，CAGACG，又OCCG，ADOB，CGAD.ACGDAC，即DACCAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等2如图，ABD的边AB为直径，作O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：ABBD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.CE是圆的切线，FCACBA.FCADCE，DCECBA.AB是直径，ADBC，BAC90CBA.又CEBD，D90DCE，DBAC，ABBD.对应学生用书P24一、选择题1如图，O内切于ABC，切点分别为D，E，F.已知B50，C60，连接OE，OF，DE，DF，那么EDF的值为()A40B55C65 D70解析：B50，C60，A70，EOF110，EDF55.答案：B2如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC的长为()A2 B3C2 D4解析：连接BC，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有ADC与ACB相似，所以可得，代入数值得关于AC的方程答案：C3在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且APB30，AP，则CP()A. B2C21 D21解析：如图，连接OP，则OPPA，又APB30，POB60，在RtOPA中，AP，易知，PBOP1，在RtPCB中，由PB1，PBC60，得PC.答案：A4如图所示，经过O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若CAP40，ACP100，则BAC所对的弧的度数为()A40 B100C120 D60解析：AP是O的切线，ABCCAP40，又ACP100，BACACPABC60，即BAC所对的弧的度数为120.答案：C二、填空题5如图，AB为O直径，CD切O于D，AB延长线交CD于点C，若CAD25，则C等于_解析：连接BD，AB为直径，BDA90.又CD为O切线，切点为D，由弦切角定理知BDCCAD25.CDA9025115.在ACD中，C180ACDA1802511540.答案：406.如图所示，AC切O于点A，BAC25，则B的度数为_解析：BACAOB，AOB22550，B(18050)65.答案：657.如图，PA，PB是O的两条切线，A、B为切点，C是上的一点，已知O的半径为r，PO2r，设PACPBC，APB，则和的大小关系为_解析：连接AB、AO、OC、OB，PACABC，PBCBAC.PACPBCABCBAC(AOCBOC)(180APB)AOr，PA切O于A，AOPA且PO2r，APO30.APB2APO60.(18060)60.答案：8.如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_.解析：由PA为O的切线，BA为弦，得PABBCA，又BACAPB，于是APBCAB，所以.而PB7，BC5，故AB2PBBC7535，即AB.答案：三、解答题9AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EFBC.证明：连接DF.AD是BAC的平分线，BADDAC.EFDBAD，EFDDAC.O切BC于D，FDCDAC.EFDFDC.EFBC.10如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明：(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.11如图所示，ABC内接于O，ABAC，直线PQ切O于点C，BDPQ，AC，BD相交于E.(1)求证：ABEACD；(2)若AB6 cm，BC4 cm，求AE的长解：如图所示：(1)证明：因为PQ是O的切线，所以12.因为BDPQ，所以13，23.因为34，所以24.因为ABDACD，ABAC，所以ABEACD.(2)因为32，A