高二数学上学期期中试题理1

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知命题，则是A. ，B. ，C. ，D. ， 2. 设直线的倾斜角为，且，则a,b满足A. B. C. D. 3. 已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 直线与圆交于E，F两点，则（O是原点）的面积为A. B. C. D. 5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、，下列命题正确的是A. ，且，则B. ，且，则C. ，且，则D. ，且，则m/n 6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是A. B. C. D. 7. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为A. B. C. D. 8. 已知点A（2，1），抛物线的焦点是F，若抛物上存在一点P，使得最小，则P点的坐标为A. （2，1）B. （1，1）C. （，1）D. 9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙 10. 如图，正方体中，P为底面ABCD上的动点，于E，且PA=PE，则点P的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是_。 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围_。 13. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为_，其焦点到渐近线的距离为_。 14. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_。 15. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是_。 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点A(-2,m)(m0)，圆（I）写出圆C的标准方程；（II）若过点A的圆的切线只有一条，求m的值及切线方程；（III）若过点A且在两坐标轴上截距（截距不为零）相等的直线被圆截得的弦长为，求m的值。 18. 已知椭圆W：，直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点。（I）求椭圆的离心率和短轴长；（II）若直线l的斜率是2，求线段AB的长。 20. 如图，已知直三棱柱中，AB=BC，E为AC中点。（I）求证：平面；（II）求证：平面平面。 20. 已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上。（I）求抛物线C的方程；（II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程。 21. 已知：椭圆C两焦点坐标分别为，且经过点N。（1）求椭圆C的标准方程；（II）若过M（0，-4）的直线l交椭圆C于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。 22. 已知集合，其中，将（）中所有不同值的个数记为L（A）。（I）设集合，求L（P），L（Q）；（II）设集合，求L（B）的值（用含n的式子表示）；（III）求L（A）的最小值（用含n的式子表示）【试题答案】一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. C2. D3. D4. C5. B6. A7. A8. C9. B10. A二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 12. (1，5)13. ，114. （4，2）15. 0，116. 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）（2）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故，切线方程为；（3） 18. （1）；（II）19. （I）证明：连结，与交于点F，连结EF，因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形，点F是中点，又E为AC中点，所以EF/。因为平面，平面，所以平面（II）证明：因为AB=BC，E为AC中点所以又因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，从而。所以平面。因为平面，所以平面平面20. （I）；（II）当直线l的方程为，或 21. （I）（II） 22. 解：（I）由，得由，得（II）因为共有项，所以。又集合，任取，当时，不妨设，则，即。当，时，因此，当且仅当，时，。即所有的值两两不同，所以。（III）不妨设，可得，故（）中至少有个不同的数，即。事实上，设成等差数列，考虑，根据等差数列的性质，当时，