高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_2_1 直线的方向向量与直线的向量方程学案 新人教b版选修2-1

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角知识点一用向量表示直线或点在直线上的位置思考在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合空间中一点的位置或点的集合怎样确定？梳理用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有_或_或_(a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的_向量a称为该直线的方向向量(2)线段AB的中点M的向量表达式_.知识点二用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1l2或l1与l2重合_.2已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l或l在内_.3已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得或与重合_.知识点三用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角1用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为，1和2分别是l1和l2的方向向量，则l1l2_，cos _.2求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cosv1，v2.但要注意，两直线的夹角与v1，v2并不完全相同，当v1，v2为钝角时，应取其_作为两直线的夹角类型一空间中点的位置确定例1已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：(1)APPB12；(2)AQQB2.求点P和点Q的坐标反思与感悟确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得跟踪训练1已知点A(4，1，3)，B(2，5，1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为()A. B.C. D.类型二向量方法处理平行问题例2如图，已知正方体ABCDABCD，点M，N分别是面对角线AB与面对角线AC的中点求证：MN侧面AD；MNAD，并且MNAD.反思与感悟(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点跟踪训练2(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MNRS.(2) 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDE.类型三两直线所成的角的求解例3已知三棱锥OABC(如图)，OA4，OB5，OC3，AOBBOC60，COA90，M，N分别是棱OA，BC的中点求直线MN与AC所成角的余弦值反思与感悟向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是0，而异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0.跟踪训练3长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值1若直线l1、l2的方向向量分别为a(1，2，2)，b(2，3，2)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1、l2相交但不垂直 D不能确定2设l1的方向向量a(1，3，2)，l2的方向向量b(4，3，m)，若l1l2，则m等于()A1 B. C. D33若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1，2，3) B(1，3，2)C(2，1，3) D(3，2，1)4已知向量a(42m，m1，m1)，b(4，22m，22m)，若ab，则实数m的值为()A1 B3C1或3 D以上答案都不正确5已知直线l1的一个方向向量为(7，3，4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1l2，则x_，y_.1利用向量可以表示直线或点在直线上的位置2线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理3用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题提醒：完成作业第三章3.2.1答案精析问题导学知识点一思考已知向量a，在空间中固定一个基点O，再作向量a，则点A在空间中的位置就被向量a唯一确定了，称向量a为位置向量梳理(1)tata(1t)t向量参数方程(2)()知识点二1v1v22存在两个实数x，y，使vxv1yv23v1且v2知识点三1v1v2|cosv1，v2|2补角题型探究例1解(1)由已知，得2，即2()，.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2，4，0)(1，3，3)，即x，y，z011.因此，P点的坐标是.(2)因为AQQB2，所以2，2()，2，设点Q的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2，4，0)2(1，3，3)(0，2，6)，即x0，y2，z6.因此，Q点的坐标是(0，2，6)跟踪训练1C例2证明设a，b，c，则(ac)，c(ab)，因此(bc)因为M不在平面AD内，所以MN平面AD.又因为bc，所以，因此MNAD，MNAD.跟踪训练2(1)证明方法一设a，b，c，则cab，bac，又RMN，MNRS.方法二如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.，MRS，MNRS.(2)证明建立如图所示的空间直角坐标系设ACBDN，连接NE，则点N、E的坐标分别是、(0，0，1).又点A、M的坐标分别是(，0)、，.，且ANE，NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.例3解设a，b，c，直线MN与AC所成的角为，则(bc)a(bca)，ca.|2(bca)2(|a|2|b|2|c|22bc2ab2ac)(42523215200)，|2(ca)2|a|2|c|22ac42320225，(bca)(ca)(bc|c|2ab2ac|a|2).cos |cos，|.直线MN与AC所成角的余弦值为.跟踪训练3解如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C1(0，4，2)，A1(2，0，2)，E(1，2，2)，F(1，4，1)，(1，4，1)，(1，2，2