高中数学 第二章 数列 2_3_2 等比数列的前n项和（一）学案 新人教b版必修5

2.3.2等比数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识链接1求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列an，当q1，Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1qn1a1qn1)a1q(Sna1qn1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？答由Sna1q(Sna1qn1)，得(1q)Sna1a1qn.所以Sn.2在等比数列an中，若q1，则有q.由等比性质，得q，至此你能用a1和q表示出Sn吗？答由q，得 q，于是Sn.预习导引1等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况2等比数列前n项和公式的变式若an是等比数列，且公比q1，则前n项和Sn(1qn)A(qn1)其中A.3错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.要点一前n项和公式基本量的运算例1在等比数列an中，(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5.解(1)方法一设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.方法二S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18.a4a1q38()31，S5.规律方法(1)在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论跟踪演练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.答案22n12解析设等比数列an的公比为q，因为a2a420，a3a540，所以 解得 所以Sn2n12. 要点二错位相减法求和例2求和：Snx2x23x3nxn (x0)解分x1和x1两种情况当x1时，Sn123n.当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.Sn.综上可得Sn规律方法一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法跟踪演练2求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和解(1)当a0时，Sn1.(2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则Snn2.(3)当a1且a0时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1.aSna3a25a37a4(2n1)an.得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，Sn.综上，Sn要点三等比数列前n项和的综合应用例3借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.0161.061,1.0151.051)?解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因为1.0161.061，所以a1 739(元)故每月应支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a1 739(元)故每月应支付1 739元规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪演练3一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sna1a2an1251()n125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.例4设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.规律方法利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解跟踪演练4已知Sn是无穷等比数列an的前n项和，且公比q1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项(1)求S2和S3；(2)求此数列an的前n项和；(3)求数列Sn的前n项和解(1)根据已知条件整理得解得3S22S36，即S22，S33.(2)q1，则可解得q，a14.Sn()n.(3)由(2)得S1S2Snnn1()n1等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn为()A. B.C. D.答案C解析当x1时，Snn；当x1时，Sn.2设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于()A2 B4 C. D.答案C解析S4，a2a1q，.3等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是()A179 B211 C243 D275答案B解析q4()4，q，S5211.4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_答案11a(1.151)解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1