高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题13 空间向量与立体几何1

专题13 空间向量与立体几何【标题01】对于空间直角坐标系的对称性质理解错误【习题01】点关于平面对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【经典错解】根据空间直角坐标系的对称性质得选【详细正解】根据空间直角坐标系的对称性质得，关于平面对称时，横坐标和纵坐标不变，其它坐标变化，所以选择.【深度剖析】（1）经典错解错在对于空间直角坐标系的对称性质理解错误；（2）空间直角坐标系和平面直角坐标系中的对称性质是一样的，对称轴或对称平面上的坐标不改变，其它坐标要改变.掌握这个规律就可以了.【习题01针对训练】点关于轴对称的点的坐标是 .【标题02】空间向量和平面平行知识点混乱出错【习题02】已知线段的两端点的坐标为，则线段与下列哪个平面平行 （ ）A. B. C. D. 或【经典错解】，所以与平行，所以选择.【详细正解】，所以与平行，所以选择.【深度剖析】（1）经典错解错在空间向量和平面平行知识点混乱出错.（2）如果向量的横坐标为零，则该向量应该与平行；如果向量的纵坐标为零，则该向量应该与平行；如果向量的竖坐标为零，则该向量应该与平行. 理解和记住结论，最好利用数形结合理解记忆.【习题02针对训练】已知点，则点关于原点的对称点的坐标为 ；的长为 .【标题03】把向量所成的角和异面直线所成的角的关系理解错了【习题03】如图，在直三棱柱中，分别是的中点，且.（1）求直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 【经典错解】分别以、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得：,又分别是的中点，,. （1）因为， ，所以， 直线与所成角的大小为. （2）设平面的一个法向量为,由,得,可取， 又，所以， 直线与平面所成角的正弦值为. 【详细正解】分别以、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得：,又分别是的中点，,. （1）因为， ，所以， 直线与所成角的大小为. （2）同上 【深度剖析】（1）经典错解错在把向量所成的角和异面直线所成的角的关系理解错了.（2）空间两个向量所成的角并不等同两异面直线所成的角，错解把它们等同起来了.它们的定义有区别，范围也不同. (3) 异面直线所成的角的范围是，所以当我们求出两条直线所成的角是钝角时，应该求其补角.如果我们利用公式计算出的角的余弦为负数时，应该求其绝对值.【习题03针对训练】已知四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为 .【标题04】把平面和平面所成的角和二面角混淆了【习题04】如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，.(1)证明：；(2)求平面与平面所成的角的大小【经典错解】(1)证明法一：由题设易知两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由，易得(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0， 又，.法二：，.又是正方形，.又是的中垂线，且， ，是直角三角形，. 又， .(2)设平面的法向量 (1,0,0)，(1,1,1)， 取(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面的法向量， .【详细正解】（1）同上(2) 设平面的法向量(1,0,0)，(1,1,1)， 取(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面的法向量， 所以平面与平面所成的角的大小为.【深度剖析】（1）经典错解错在把平面和平面所成的角和二面角混淆了.（2）平面是无限延展的，所以平面和平面所成的角可以看作两个二面角，所以一般情况下求出的是两个值，刚好互补.如果求的是二面角，就是唯一确定的.【习题04针对训练】在如图所示的多面体中，.（1）请在线段上找到一点，使得直线，并证明；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.高中数学经典错题深度剖析及针对训练第13讲：空间向量与立体几何参考答案【习题01针对训练答案】【习题01针对训练解析】根据空间直角坐标系的对称性质得，关于轴对称时，横坐标不变，其它坐标变化，所以是.【习题02针对训练答案】； 【习题02针对训练解析】由空间坐标系中点的对称原则：关于谁对称，谁不变；知点关于原点对称，各坐标全要变为原来的相反数，所以点的坐标为（3，-1，-4）；再由空间中两点间的距离公式得【习题03针对训练答案】【习题03针对训练解析】建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则， 所成的角的余弦值为.【习题04针对训练答案】（1）详见解析；（2） 解法二：（1）由已知平面，平面， 设为线段的中点，是线段的中点， 连接 ，则， 四边形是平行四边形， 由平面内，平面，平面（2）由已知条件可知即为在平面上的射影，设所