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第8章 回归正交试验设计 Orthogonal Regression Design n正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一 定试验范围内的最优方案 n回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素 8.1 一次回归正交试验设计及结果分析 n建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，xm之间 的一次回归方程 n例：m3时，一次回归方程： yab1x1b2x2b3x3b12x1x2b13x1x3b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作 用 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： yab1x1b2x2b3x3 8.1.1 一次回归正交设计的基本方法 （1）确定因素的变化范围 以因素xj为例： n设xj 的变化范围为xj1， xj2 nxj1为xj的下水平 nxj2为xj的上水平 n xj0为xj的零水平： xj0 (xj1 xj2)/2 n因素xj的变化间距j： j上水平 零水平xj2xj0 j= (xj2 xj1)/2 （2）因素水平的编码 zj：因素xj的编码 ，称为规范变量 xj：自然变量 上水平xj2的编码 ：zj21 下水平xj1的编码：zj11 零水平xj0的编码：zj00 n 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换： n编码目的： 使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量 zj的取值范围都是1，1 编码能将试验结果y与因素xj（j1，2，m）之间 的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归 问题 （3）一次回归正交设计表 n将二水平的正交表中“2”用“1”代换 ，例： n回归正交设计表的特点： 任一列编码的和为0 任两列编码的乘积之和等于0 （4）试验方案的确定 可参考正交设计的表头设 计方法 交互作用列的编码等于表 中对应两因素列编码的乘 积 n零水平试验（中心试验 ） n 表头设计 ： 8.1.2 一次回归方程的建立 n总试验次数为n ： nmcm0 mc：二水平试验次数 m0：零水平试验次数 n一次回归方程系数的计算： 常数项：a 一次项系数：bj 交互项系数： bjk j1，2，m jk, k1，2，m1 n说明： 求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小 回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负 8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析 8.1.3.1 无零水平试验时 平方和： n总平方和： n一次项偏回归平方和 ： n交互项偏回归平方和： n回归平方和 ： n残差平方和 ： 自由度 ndfTn1 n各种偏回归平方和的自由度1 n回归平方和的自由度 ： n残差自由度： n不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。 均方 F检验： n回归方程显著性检验 n偏回归系数显著性检验 ： 判断因素或交互作用对试验的影响程度 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验 例8-1： （1）因素水平编码 （2）正交表的选择和试验方案的确定 （3）回归方程的建立 m00，nmc8 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量zj的回归方程 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方 向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回 归方程 8.1.3.2 有零水平试验时 n目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求 m02 ） n失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内 的拟合情况 n失拟性检验步骤： 设m0次零水平试验结果为y01，y02，y0m0 重复试验误差： n平方和： n重复试验误差的自由度： 回归方程失拟部分： n失拟平方和 ： n失拟平方和自由度： n对于给定的显著性水平（一般取0.1） n当FLfF（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不 显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立 的回归方程是拟合得很好 n例8-2 失拟检验 ： 8.2 二次回归正交组合设计 n回归方程的建立： 根据最小二乘法原理得到正规方程组 求解正规方程组，得回归系数 要求：试验次数回归方程的项数 n回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础 上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试 验方案 8.2.1 二次回归正交组合设计表 （1）二元二次回归正交组合设计试验方案 n二元二次回归方程： n试验方案 n正交组合设计的三类试验点及次数： 二水平试验： 全实施：mc2m 1/2实施：mc2m1 1/4实施：mc2m2 星号试验： 与原点（中心点）的距离都为 m2m 零水平试验： 各因素水平编码都为零时的试验 试验次数m0 n 二元二次回归正交组合设计 （2） 三元二次回归正交组合设计试验方案 n三元二次回归方程： n试验方案 n 三元二次回归正交组合设计 （3）星号臂长度与二次项的中心化 星号臂长度 n星号臂长度与因素数m，零水平试验次数m0及二水平试 验数mc有关 n的确定 公式计算 参考表8-18 m0 因素数m 234（1/2实实施）45（1/2实实施）5 11.0001.2151.3531.4141.5471.596 21.0781.2871.4141.4831.6071.662 31.1471.3531.4711.5471.6641.724 41.2101.4141.5251.6071.7191.784 51.2671.4711.5751.6641.7711.841 61.3201.5251.6231.7191.8201.896 71.3691.5751.6681.7711.8681.949 81.4141.6231.7111.8201.9142.000 91.4571.6681.7521.8681.9582.049 101.4981.7111.7921.9142.0002.097 二次回归正交组合设计值表 二次项的中心化 n对二次项的每个编码进行中心化处理 ： (二次项编码)(二次项编码算术平均值) 试验试验 号z1z2z1 z2z12z22z1z2 1 11 1111/31/3 2 11 1111/31/3 3 11 1111/31/3 4 11 1111/31/3 5 10 0101/32/3 6 10 0101/32/3 7 01 0012/31/3 8 01 0012/31/3 9 00 0002/32/3 二元二次回归正交组合设计编码表 8.2.2 二次回归正交组合设计的应用 （1）基本步骤 因素水平编码 n试验因素的水平被编为，1，0，1， n变化间距：j上水平零水平零水平下水平 规规范变变量zj 自然变变量xj x1x2xm 上星号臂x1x2xm 上水平1x12x101x22x202xm2xm0m 零水平0x10x20xm0 下水平1x11x101x21x202xm1xm0m 下星号臂x1x2xm 变变化间间距j12m 因素水平的编码表 确定合适的二次回归正交组合设计 n参考表8-22 因素数m选选用正交表表头设计头设计mcm 2L4（23）1，2列2244 3L8（27）1，2，4列2386 4（1/2实实施）L8（27）1，2，4，7列24188 4L16（215）1，2，4，8列24168 5（1/2实实施）L16（215）1，2，4，8，15列2411610 5L32（231）1，2，4，8，16列253210 正交表的选用 试验方案的实施 回归方程的建立 n常数项：a n一次项偏回归系数bj ： n 交互项偏回归系数bkj ： n 二次项偏回归系数bjj ： 回归方程显著性检验 总平方和： 交互项偏回归平方和： 二次项偏回归平方和： 一次项偏回归平方和： n 平方和： 回归平方和： 残差平方和： n自由度： dfTn1 各种偏回归平方和的自由度：1 回归平方和的自由度： 残差平方自由度： n回归系数的检验： 失拟性检验 回归方程的回代 最优试验方案的确定: n回归方程的“规划求解” n根据极值的必要条件： （2）例8-3 8.3 二次回归正交旋转组合设计 （1）基本概念 回归旋转正交设计： 规范变量空间（编码空间）内，与试验中心点（零水平 点）距离相等的球面上 各点回归方程预测值的方差相等 （2）三