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高中数学课件 人教版必修一精品ppt 数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离 华罗庚 第一章：集合与函数 第二章：基本初等函数 第三章：函数的应用 第一节：集合 第一章：集合与函数 二、集合的定义与表示 1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组 成的总体叫做集合。并用花括号括起来，用大写字母带表一个集合，其 中的元素用逗号分割。 2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来 判断是否为一个集合。 一、请关注我们的生活，会发现 1、高一（9）班的全体学生：A=高一（9）班的学生 2、中国的直辖市：B=中国的直辖市 3、2，4，6，8，10，12，14：C= 2，4，6，8，10，12，14 4、我国古代的四大发明：D=火药，印刷术，指南针，造纸术 5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E=2008年奥运会的球类项目 如何用数学的语言描述这些对象？ 集合的含义与表示 讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？ 1、著名的科学家 2、1,2,2,3这四个数字 3、我们班上的高个子男生 讨论2：集合a,b,c,d与b,c,d,a是同一个集合吗？ 三、数集的介绍和集合与元素的关系表示 1、常见数集的表示 N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集 Q： 有理数集 R： 实数集 若一个元素m在集合A中，则说 mA，读作“元素m属于集合A” 否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。 例如：1 N， -5 Z, Q 2、集合与元素的关系（属于或不属于 ） 1.5 N 四、集合的表示方法 1、列举法 就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法 注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。 例如：book中的字母组成的集合表示为： ，o， ， 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合 。 1,4 （1,4） 2、描述法 就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式 为： 注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明xR或者kZ，除非上下文明确表示 。 x | p(x) 例如：book中的字母的集合表示为：A=x|x是 book中的字母 所有奇数组成的集合：A=xR|x=2k+1, kZ 所有偶数组成的集合：A=xR|x=2k, kZ 思考：1、比较这三个集合： A=x Z|x 单调区间 Ox y x1x2 f(x1) f(x2) 二、函数单调性考察的主要问题 3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2 ，且x2x1，通过计算f(x2)f(x1)0或者0ab=0ab0=00 =0 1时，y 0 当-3 b 2a+b=0 =b-4ac 0 9、二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2， 则x1+x2等于_. 10、数f(x)=2x2-mx+3，当x(-,-1时是减函数，当x(-1,+)时是增函数，则 f(2)= _. 11、关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有( ) (A)-1a1 (B)a-2或a1 (C)-2a1 (D)a-1或a2 12、设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则 (x-1)2+(y-1)2的最小值是( C ) (A)-12 (B)18 (C)8 (D)34 13、设函数f(x)=|x|x+bx+c，给出下列命题： b=0,c0时，f(x)=0只有一个实数根； c=0时，y=f(x)是奇函数； y=f(x)的图象关于点(0，c)对称； 方程f(x)=0至多有2个实数根. 上述命题中的所有正确命题序号是_ 函数的基本性质奇偶性 1、已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1), 及f(-x) ,并画出它的图象。 解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2 x y o ( x,y)(-x,y) f(- x) f(x ) -xx f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x) 说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时, 对应的函数值相等即f(-x)=f(x) 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数. 偶函数定义: 2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2)，f(2)，f(-1)，f(1)及f(-x) 解: f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3 x y o -x x f(-x) f(x) (-x,- y) (x,y) f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x) 说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的 函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x) 奇函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数. 对奇函数、偶函数定义的说明: （1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如， f(x)=x2 (x0)是 偶函数吗 O x -b,-a a,b （2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 （3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x) 具有奇偶性。 例1. 判断下列函数的奇偶性 解:定义域为R f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数 解:定义域为R f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 即 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数 (1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2 （2）奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. （1）偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数. 注：奇偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。 奇偶函数图象的性质: 两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。 两个性质: 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。 一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。 (2) f(x)= - x2 +1 (3). f(x)=5 (4) f(x)=0 练习题 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x- 1 , 3 第二章：基本初等函数 第一节：指数函数 指数与指数幂的运算 根式 探究 a，a0 a，a0 分数指数幂 指数运算法则 结合具体的理解进行记忆 引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，. 1个这样的细 胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 分裂次数：1，2，3，4，x 细胞个数：2，4，8，16，y 由上面的对应关系可知，函数关系是 引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价 格为y，则y与x的函数关系式为 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做 指数函数.即： ，其中x是自变量，函数定义域是R 定义 指数函数及其性质 探究1：为什么要规定a0,且a 1呢？ 若a=0，则当x0时， =0；当x 0时， 无意义. 若a0且a1 在规定以后，对于任何x R， 都有意 义，且 0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+). 引例： 例题讲解 ： 课本P56、57中的例6、例7和例8 课堂练习 ： 课本P58的练习1、2 进一步拓展 进一步拓展 复合函数求单调区间 综合练习 课本P59页习题2.1 第二章：基本初等函数 第二节：对数函数 对数及其运算 前节内容回顾： 引导： 定义： X x X x 两种特殊的底：10和e 探究： 结论： 负数和零没有对数。 练习： 课本P64页 对数运算法则 探究： 换底公式的证明与应用 例题讲解： 课堂练习： 1、课本P65页，例2例6： 1、课本P68页 对数函数及其性质 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分 裂成2个，2个分裂成4个1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂 次数x的函数，这个函数可以用指数函数 _表示。 反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个细胞？ 已知细胞个数y，如何求分裂次数x？得到怎样一个新的函数？ 124 y=2x y x=? 复习引入 y=2x,xN 1、对数函数的定义： 2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系 -1 X Y O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 67 Y=log2x Y=x Y=2x -1 图 象 性 质 a 1 0 a 1 定义域 : 值 域 : 过定点： 在 ( 0 ,+)上 是 函数 在 ( 0 ,+)上 是 函数 y x 0 x1 y=logax (a1) y x0 y=logax (0a1) (1,0) (1,0) ( 0 ,+) R ( 1 , 0 ) 增减 例1：求下列函数的定义域： （1） ； （2） ； （3） 反函数 1、定义： 2、求法： 已知某个函数的表达式，y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下： （1）通过表达式y=f(x)，把函数表示成x=g(y)的形式 （2）把求得的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式 3、注意： 只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数 是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如y=1/x？ 练习 课本P73,74页 第二章：基本初等函数 第三节：幂函数 幂函数定义 注意： 第三章：函数的应用 第一节：函数与方程 要点梳理 1.函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫 做函数y=f(x)(xD)的零点. f(x)=0 基础知识 自主学习 （2）几个等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与_有 交点 函数y=f(x)有_. (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有_,那么函 数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b), 使得_，这个_也就是f(x)=0的根. f（a）f（b）0)的图象与零点的关系 0=00)的图 象 与x轴的交 点 _ _ _ 无交点 零点个数 _ (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无一个 两个 3.二分法 （1）二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且_的 函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间a，b，验证_, 给定精确度 ； 第二步，求区间（a，b）的中点x1； f(a)f(b)0， f（1）f（2）0， f(1) f(8)log22-1=0, f(3)=log25-31),判断 f(x)=0的根的个数. 解 设f1(x)=ax (a1),f2(x)= 则f(x)=0的解即为 f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x) 与f2(x)图象交点的横坐标. 在同一坐标系中，作出函数 f1(x)=ax (a1)与f2(x)= 的图象(如 图所示）. 两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且 只有一个根. 题型三 零点性质的应用 【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0). (1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个 相异实根. （1）可结结合图图象也可解方程求之. （2）利用图图象求解. 思维启迪 解 （1）方法一 等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是2e，+)， 4分 因而只需m2e，则 g(x)=m就有零点. 6分 方法二 作出 的图象如图： 4分 可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e. 6分 方法三 解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根， 4分 等价于 故m2e. 6分 (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根， 即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个 不同的交点， 作出 （x0）的图象. f（x）=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为x=e，开口向下， 最大值为m-1+e2. 10分 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是（-e2+2e+1,+). 12分 此类类利用零点求参数的范围围的问题问题 ，可 利用方程，但有时时不易甚至不可能解出，而转转化为为构 造两函数图图象求解,使得问题简单问题简单 明了.这这也体现现了 当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时时求 参数的范围围，一般采用数形结结合法求解. 探究提高 知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+ (3a-2)x+a-1在区间-1,3上与x轴恒有一个零点, 且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说 明理由. 解 =(3a-2)2-4(a-1)0 若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可. f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)0. 所以a 或a1. 检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1. 方程在-1,3上有两根，不合题意，故a1. (2)当f(3)=0时，a= 解之得x= 或x=3. 方程在-1,3上有两根,不合题意,故a 综上所述,a1. 1.函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定 理；数形结合；解方程f（x）=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)= f（x）-g（x）的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在 的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的 任一点就是这个函数零点的近似值. 方法与技巧 思想方法 感悟提高 1.对于函数y=f(x)(xD),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个 实数时,其函数值等于零. (2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点 的横坐标. (3)一般我们只讨论函数的实数零点. (4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根. 失误与防范 2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在a,b上连续; (2)f(a)f(b)0， f（-1）f（0）0), 则y=f(x) （ ） A.在区间 (1,e)内均有零点 B.在区间 (1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点 解析 因为 因此f(x)在 内无零点. 因此f(x)在(1，e)内有零点. 答案 D 3.（2009福建文，11）若函数f（x）的零点与 g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则 f(x)可以是 （ ） A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex-1 D. 解析 g(x)=4x+2x-2在R上连续且 设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则 又f(x)=4x-1零点为 f(x)=(x-1)2零点为x=1; f(x)=ex-1零点为x=0; 零点为 答案 A 4.方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 aR+，a2+11. 而y=|x2-2x|的图象如图， y=|x2-2x|的图象与y=a2+1 的图象总有两个交点. 方程有两解. B 5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取 值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析 本题研究方程根的个数问题,此类问题首选 的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其 次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法. 如图，作出函数y=|x|(x-1)的 图象，由图象知当k 时， 函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的 交点，即方程有3个实根. 答案 A 6.设f(x)=x3+bx+c (b0)(-1x1),且 则方程f(x)=0在-1,1内( ) A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析 f（x）=x3+bx+c （b0）， f(x)=3x2+b0,f（x）在-1,1上为增函数, 又 f（x）在 内存在唯一零点. C 二、填空题 7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是_. 解析 g（x）=-6x2-5x-1的零点为 8.若函数f(x)=x