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1 复习 2. 1. 2 极限的求法： 1、代入法； 2、约零因式法； 3、无穷小的运算性质法 5、无穷小因子分出法 6、化无限为有限法 7、换元法 4、无穷小与无穷大的关系法 3 第六节 极限存在准则 两个重要极限 二、两个重要极限 一、极限存在准则 夹逼准则 ；单调有界准则 4 准则： (2) 那么数列的极限存在， 且 1、夹逼准则 （两边夹法则） 满足下列条件：如果数列和 (1) 证则 使得 一、极限的存在准则 5 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则如果当有 (1)(2) 那么 ： 存在， 且等于A. 注意：利用夹逼准则求极限， 关键是构造出与 并且与的极限是容易求的. (两边夹法则) 准则 和准则 称为夹逼准则 6 例1 解 由两边夹法则得 7 二、两个重要极限 8 证毕 9 （令 ） 注意：注意： 标准变形 10 解 例3 解 例2 11 解 例3 注意 ：含三角函数、反三角函数的 型 极 限 常用第一个重要极限 思考 ： 12 证明略 准则 单调有界数列必有极限. 2、单调有界准则 13 证 (舍去) .)的极限存在式 n例2(重根证明数列 14 该极限的证明省略 特点： 15 解 求幂指函数 型 的极限时，配1 配无穷大 注意：注意： 求幂指函数的极限问题常用求幂指函数的极限问题常用 16 补例 解 解 17 第七节 无穷小的比较 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 18 1.定义: 19 注意： 1.无穷小的阶的高低是相对的；并依赖于极限过程的； 2.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法； 3.有两个重要的符号 20 例如 21 例1. 证明: 当时, 证: 22 补例2 解 23 证必要性 充分性 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式 二、等价无穷小的性质 无穷小 24 例如, 2.设在某个过程中， 均为无穷小，则 （自反性） （对称性） （传递性） 25 例3 解 3. 常用等价无穷小: 时， 可证明 26 三、等价无穷小代换 定理(等价无穷小代换定理) 证 说明： 即定理条件满足时，可以只代换分子或分母. 27 3. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的 任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式 的极限 即定理条件满足时，可以代换积中因式的无穷小. 说明： 即定理条件满足时，可以只代换分子或分母. 求极限的又一种好方法, 注意适用条件. 28 补例4 解 例5. 求 解: 29 例6 解 解 错 不能滥用等价无穷小代换. 切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换 ，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 30 四、小结 1、无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2、等价无穷小的代换:
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