[工学]74 空间曲线 平面.ppt

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 第七章 空间解析几何 暨南大学珠海学院苏保河主讲 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 暨南大学珠海学院苏保河主讲 C 将曲线 C 上的动点坐标 x, y, z 表示成参数 t 的函数: 二、空间曲线的参数方程 称它为空间曲线的参数方程 . 例如,圆柱螺旋线的参数方程为 上升高度, 称为螺距 . 暨南大学珠海学院苏保河主讲 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求方程为 得所求方程为 暨南大学珠海学院苏保河主讲 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 暨南大学珠海学院苏保河主讲 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C 为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 C 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 暨南大学珠海学院苏保河主讲 又如, 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 暨南大学珠海学院苏保河主讲 例3. 试求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：旋转曲面方程为 面的交线为 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 , 它与所给平 暨南大学珠海学院苏保河主讲 第五节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 平面及其方程 第七章 空间解析几何 暨南大学珠海学院苏保河主讲 一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点且垂直于非零向 称式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 法向量. 量 则有 故 暨南大学珠海学院苏保河主讲 因为 所以 自算 例1.求过三点 即 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 暨南大学珠海学院苏保河主讲 此平面的三点式方程也可写成 一般情况: 过三点 的平面方程为 说明: 暨南大学珠海学院苏保河主讲 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 利用三点式 按第一行展开得 即 暨南大学珠海学院苏保河主讲 例2. 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 暨南大学珠海学院苏保河主讲 自算 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数则 显然方程与此点法式方程等价 , 的平面, 因此方程的图形是 法向量为 方程. 暨南大学珠海学院苏保河主讲 特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x + C z + D = 0 表示 A x + B y + D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面的平面; 平行于 yoz 面的平面； 平行于 zox 面的平面. 例3. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点可得 化简可得所求平面方程 暨南大学珠海学院苏保河主讲 三、两平面的夹角 设平面1的法向量为 平面2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 特别有下列结论： 因此有 例4. 一平面通过两点 垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 暨南大学珠海学院苏保河主讲 例4. 一平面通过两点 垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 . 设所求平面的法向量为 即 和 则所求 且 暨南大学珠海学院苏保河主讲 解法2: 所以 故所求平面方程为 因为的法向量 m , 平面方程 外一点,求 例5. 设 解:设平面法向量为在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 暨南大学珠海学院苏保河主讲 内容小结 空间曲线三元方程组 或参数方程 求投影曲线 暨南大学珠海学院苏保河主讲 例如消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C 为 平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式 暨南大学珠海学院苏保河主讲 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: d 点到平面的距离 暨南大学珠海学院苏保河主讲 作 业 P324 2; 3; 4; 5; 6; 8* P329 2; 5; 6; 7; 8(2); 9 暨南大学珠海学院苏保河主讲 下次课内容 第六节 空间直线及其方程 例1* 求空间曲线 :绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 暨南大学珠海学院苏保河主讲 例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为 暨南大学珠海学院苏保河主讲 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 暨南大学珠海学院苏保河主讲 例2* 解: 设球心为 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 因此所求球面方程为 四面体的球面方程. 从而 暨南大学珠海学院苏保河主讲 P324 题1 (2)