概率论与数理统计习题册解答合工大.pdf

数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 习题习题 11 随机事件随机事件 1.设设CBA,表示三个事件，试将下列事件用表示三个事件，试将下列事件用CBA,表示出来：表示出来： （1）CA,都发生，都发生，B不发生；不发生； 【 ,ABCACB 】 （2）三个事件中至少有一个发生）三个事件中至少有一个发生; 【 ABC】 （3）三个事件中至少有两个）三个事件中至少有两个. 【 ,ABACBCABCABCABCABC 】 2 2设某人对一目标设某人对一目标接连进行三次射击，设接连进行三次射击，设 i A 第第i次命中次命中1 2 3i （，）； j B 射击恰好命中射击恰好命中j次次 0 1 2 3j （， ，）；0 1 2 3 k Ckk三次射击至少命中次 （， ，）. . （1 1）通过）通过 321 ,AAA表示表示 2 B; ; 【 2123123123 BAA AAA AAA A 】 （2 2）通过）通过 123 ,B BB表示表示 2 C . . 【 223 CBB 】 3.3. 设设,A B C为三个事件，指出下列各等式成立为三个事件，指出下列各等式成立的条件的条件. . （1 1）ACBA； 【 ABC 】 （2 2）ABCA； 【 BCA 】 （3 3）ABAB； 【 AB 】 （4 4）()ABAB。 【 AB 】 习题习题 12 概概 率率 1设设 111 ( )( )( ),()()(),(), 4816 P AP BP CP ABP ACP BCP ABC 求下列事件的概率：求下列事件的概率： （1）()P ABC； （2） )(CBAP 解解 （1） 3317 ()( )( )( )()()()() 481616 P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC (2） 9 ()1() 16 P ABCP ABCP ABC . 2从从 5 双不同尺码的鞋子中任取双不同尺码的鞋子中任取 4 只，求至少有只，求至少有 2 只配成一双的概率只配成一双的概率. 解解 12112 54225 4 10 13 21 C C C CC p C ， 或 41111 52222 4 10 13 1 21 C C C C C p C 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 3从从0,1中随机地取两个数，求下列事件的概率： （中随机地取两个数，求下列事件的概率： （1）两数之和小于）两数之和小于 5 4 ； （； （2）两数之积大于）两数之积大于 1 4 ； （3）以上两个条件均满足）以上两个条件均满足. 解解 （1）设 A：两数之和小于 5 4 ， 则有 133 1 23 244 ( ) 132 P A （2）设 B：两数之积大于 1 4 ，则有 1 1 4 1 (1) 314 ( )ln2 142 dx x P B （3） 1 1 4 51 () 3113315144 ()ln2ln2 142244322 xdx x P AB 4旅行社旅行社 100 人中有人中有 43 人会讲英语，人会讲英语，35 人会讲日语，人会讲日语，32 人会讲日语和英语，人会讲日语和英语，9 人会讲法语、英语和人会讲法语、英语和 日语，且日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，在其中任意挑选一人，求此人会讲英语和日语，每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，在其中任意挑选一人，求此人会讲英语和日语， 但不会讲法语的概率但不会讲法语的概率 解解 设 A：会讲英语，B：会讲日语，C：会讲法语 则有：()P ABC 329 ()()0.23 100100 P ABP ABC 习题习题 1-3 条件概率条件概率 1根据对电路停电情况的研究，得到电路停电原因的一下经验数据：根据对电路停电情况的研究，得到电路停电原因的一下经验数据：5%是由于变电器损坏；是由于变电器损坏；80%是由于电是由于电 路线损坏；路线损坏；1%是由于两者同时损坏是由于两者同时损坏. 试求下列各种停电事件发生的概率。 （试求下列各种停电事件发生的概率。 （1）在已知变电器损坏的条件下，）在已知变电器损坏的条件下， 电路线损坏； （电路线损坏； （2）变电器损坏但电路线完好； （）变电器损坏但电路线完好； （3）在已知电路线）在已知电路线没没损坏的条件下，变电器损坏损坏的条件下，变电器损坏. 解解 A：变电器损坏，：变电器损坏，, B：电路线损坏，则电路线损坏，则( )0.05,( )0.8,()0.01P AP BP AB （1） ()0.01 ()0.05,( )0.8,()0.2 ( )0.05 P AB P B AP BP AB P A ； （2）()( )()0.05 0.010.04P ABP AP AB （3） ()( )()0.050.01 ()0.2 1( )1 0.8( ) P ABP AP AB P A B P BP B . 2一批灯泡共一批灯泡共 100 只，次品率为只，次品率为 10%，不放回的抽取，不放回的抽取 3 次，每次取一只，问第次，每次取一只，问第 3 次才取到合格品的概率是次才取到合格品的概率是 多少？多少？ 解解 记 i A：第i次取到合格品，(1, 2, 3)i 所求概率即为： 123121312 109909 ()() (|) (|) 10099981078 P A A AP A P AA P AA A 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 3玻璃杯成箱的出售，玻璃杯成箱的出售，每每箱箱 20 只，假设各箱含只，假设各箱含 0 个，个，1 个，个，2 个次品的概率相应的为个次品的概率相应的为0.8,0.1,0.1，一顾客，一顾客 欲买一箱玻璃杯，售货员随意地抽取一箱，顾客开箱后随意地查看欲买一箱玻璃杯，售货员随意地抽取一箱，顾客开箱后随意地查看 4 只，若无次品则买下这箱玻璃杯，否则只，若无次品则买下这箱玻璃杯，否则 退回，试求： （退回，试求： （1）顾客买下该箱玻璃杯）顾客买下该箱玻璃杯的的概率； （概率； （2）若一）若一个个顾客买下了一箱玻璃杯，在顾客买下的这箱玻璃顾客买下了一箱玻璃杯，在顾客买下的这箱玻璃 杯中确实无次品的概率。杯中确实无次品的概率。 解解 （1）记 A：顾客买下该箱玻璃杯， k B：该箱含有k只次品，0, 1, 2k 则有 44 2 1918 44 0 2020 412448 ( )() (|)0.8 1 0.10.10.80.10.10.94 519475 kk k CC P AP B P A B CC （2） 000 0 ()() (|)0.895 (|)0.85 ( )( )0.94112 P ABP B P A B P BA P AP A 习题习题 14 独立性独立性 1设设,A B为两个为两个事件事件，且，且( )0.8, ( )0.6, ()0.32P AP BP AB，问，问A与与B是否相互独立，为什么？是否相互独立，为什么？ 解解 因为 ()( )()( )()0.8 0.320.48()( ) ( )P ABP AP ABP APP ABABP A P B , 所以 A 与 B 独立 2某举重运动员在一次试举中能举起某一重量的概率为某举重运动员在一次试举中能举起某一重量的概率为p，如果他最多只能试举，如果他最多只能试举 3 次，次，且前面的试举情况且前面的试举情况 对后面没有影响，对后面没有影响，求他能举起这个重量的概率。求他能举起这个重量的概率。 解解 记 A：能举起这个重量， k B：他第 k 次能举起某一重量（k=1, 2,3） ，则() k P Bp （=1,2,3k） 则有 2 112123112123 ( )()()()()(1)(1)P AP BBBBB BP BP BBP BB Bppppp 32 33ppp 3 一实习生用一台机器接连独立地制造 一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件， 第个同种零件， 第i个零件是不合格的概率为个零件是不合格的概率为 1 (1, 2,3) 1 i pi i ， 求： （求： （1）他制造）他制造的三个零件中前两个为合的三个零件中前两个为合格品，而第三个不格品，而第三个不是是合格品的概率， （合格品的概率， （2）三个零件中至少有一个）三个零件中至少有一个 是是合格品的概率。合格品的概率。 解解 记 k A：第k零件为合格品（k=1, 2,3） ，则 123 111 (),(),() 234 P AP AP A， （1）所求即为： 123123 1111 ()() () ()(1) (1) 23412 P A A AP A P A P A； （2）所求即为： 123123 11123 ()1()1 23424 P AAAP A A A 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 习题习题 21 随机变量随机变量及其分布函数及其分布函数 1 已知随机变量已知随机变量X的分布函数为的分布函数为 2 2 ,0, ( ) 0,0. x abex F x x 求系数求系数, a b的值的值. 解解 由lim( )1 x F x 及 0 lim( )(0) x F xF （处处右连续）得1,1ab 2 下列函数中可以作为某个随机变量的分布函下列函数中可以作为某个随机变量的分布函数的是（数的是（ ） (A) 2 1 ( ), 1 F xx x (B) 11 ( )arctan , 2 F xxx (C) 1 (1),0, ( )2 0,0. x ex F x x (D)( )( ) , x f xf t dt 其中( )1f x dx 解解 因为 ()lim( )lim1 xx FF xP XxP XP 否（A） （C） ，而（D）中未有0)(xf的条件.正确选项（B） 习题习题 22 离散离散型随机变量及其分布型随机变量及其分布 1已知袋中编号分别为已知袋中编号分别为 1，2，3，4，5 的五只球，现从中任意抽取三只，以的五只球，现从中任意抽取三只，以X表示取出的三只球中最小编表示取出的三只球中最小编 号，求号，求X的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形. 解解 12 14 3 5 6 (1) 10 C C P X C , 12 13 3 5 3 (2) 10 C C P X C , 12 12 3 5 1 (3) 10 C C P X C 则则X的分布律为的分布律为 故故X的分布函数的分布函数为为 0,1, 0.6,12, ( ) 0.9,23, 1,3. x x F xP Xx x x 图形略. X 1 2 3 k p 6 10 3 10 1 10 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 2已知实验室有同类设备已知实验室有同类设备 4 台，每台设备一年里需要维修的概率为台，每台设备一年里需要维修的概率为 0.25，求一年里（，求一年里（1）需要维修的设备台）需要维修的设备台 数数X的分布律； （的分布律； （2）没有设备需要维修的概率； （）没有设备需要维修的概率； （3）至少有两台设备需要维修的概率）至少有两台设备需要维修的概率. 解解 （1）(4,0.25)XB，其分布律为其分布律为 4 4 13 (),0,1,2,3,4 44 kk k P XkCk ； （2） 04 0 4 1381 (0)0.316 44256 P XC ； （3） 13 1 4 811367 (2)1(2)1(0)(1)10.262 25644256 P XP XP XP XC 3一批一批产品共有产品共有 10 件，其中件，其中 7 件正品，件正品，3 件次件次品，品，每次随机地抽取一件产品每次随机地抽取一件产品，分别，分别在下列情况下，求直到在下列情况下，求直到 取出正品为止所需抽取的次数取出正品为止所需抽取的次数X的分布律的分布律。 （。 （1）采取无采取无放回放回抽样抽样； （； （2）采取有采取有放回放回抽样抽样. 解解 （1）无无放回放回抽样时抽样时 设 k A：第次取到正品，1,2,3,4k ，则有 1 7 (1)() 10 P XP A； 12121 377 (2)()() () 10 930 P XP A AP A P A A； 123121312 32 77 (3)()() () () 10 9 8120 P XP A A AP A P A A P A A A； 12341213124123 32 11 (4)()() () () ()1 10 9 8120 P XP A A A AP A P A A P A A A P A A A A ； (2) 有有放回放回抽样时抽样时 Xk表示前1k 次取到的均为次品，而第k次取到的才是正品. 故 111212 1 3337 ()() ( 73 () 10 10 )() ()1, 2, 10 1010 10 kkk k k P A AAAP A P AP AP AkP Xk 习题习题 23 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 1. 设随机变量设随机变量X的的概率密度概率密度为为 3, 0 1, ( ) 0,. cxx f x 其他 求（求（1）常数）常数c. （2）X的的分布函数分布函数( )F x； (3) 1 1 2 PX 解解 （1）由 1 3 0 ( )1114 4 c cf xx dxdxc X 1 2 3 4 k p 7 10 7 30 7 120 1 120 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 （2） 34 0 00 00 ( )4, 01,01, 11 11 x x x F xx dxxxx x x （3） 4 1111 1( )( 1 )( ) 22216 PXFF ， 或 1 2 1 1 3 2 0 1 1( 1 4) 621 PXf x dxxxd 2. 设设连续型连续型随机变量随机变量X的的分布函数分布函数为为 01 ( )ln ,1 1 x F xxxe xe 求（求（1）X的的概率密度概率密度( )f x. （2）2,03P XPX 解解 （1）X的的概率密度概率密度 1 , 1 ( )( ) 0 xe f xF xx 其他 （2）2(2)=ln2;03(3)(0)1P XFPXFF 3 设设某某年级学生的数学考试年级学生的数学考试成绩（百分制成绩（百分制）服从正态分布）服从正态分布 2 ( ,)XN ，平均成绩为，平均成绩为 72 分分. (1) 若若10，且规定，且规定 90 分以上为分以上为“优秀优秀”，则，则“优秀优秀”考生占总学生数的百分之几？考生占总学生数的百分之几？ (2) 若若未知，但已知未知，但已知 96 分以上的占考生总数的分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的，试求考生的数学数学成绩在成绩在 60 分至分至 84 分之间的概率分之间的概率. 解解 （1）设X为考生的数学成绩，由题意 2 (72,10 )XN，所以 972 901()1(1.8)0.03593.6 10 P X %，即“优秀”考生占总学生数的百分之 3.6. （2）依题意有 2 ( ,)XN ，且72. 但 2 未知. 故 967224 961961()1()0.023P XP X ， 24 ()1 0.0230.977. 查表得 24 2.012. 即 2 (72,12 ).XN 则 72 608412 (1) 10.6826 1 . 2 X PXP 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 2 ,01 ( ) 0, xx f x 其他, ， 以以Y表示对表示对X的三次独立重复观察中事件的三次独立重复观察中事件 1 2 X 出现的次数，出现的次数，求求2P Y . 解解 由于 1 2 0 11 2 24 pP Xxdx ，故 1 (3, ). 4 YB 于是 22 3 139 2( ) ( ). 4464 P YC 习题习题 24（随机变量函数的分布）（随机变量函数的分布） 1.设设离散型离散型随机变量随机变量X的分布律为：的分布律为： X 2 1 0 1 3 k p 1 5 1 6 1 5 1 15 a 试求： （试求： （1）确定常数确定常数a； （2 2） 2 2YX的分布律。的分布律。 解解 （1）由 11 1 30 i i pa ； （2） 其中 117 (3)(1)(1) 61530 P YP XP X 2设随机变量设随机变量(0,1)XN，求求 X Ye的概率密度函数的概率密度函数. 解解 2 ln 2 ln ,0 ,0 ( ) 0,0 0,0 1 2 X Y x y P Xyy y FyP YyP ey y y e 所以 2 ln 2 1 ,0 ( )( ) 2 00 y YY y fyFy y y e Y 2 3 6 11 k p 1 5 7 30 1 5 11 30 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题 31 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 1设一设一袋中有四个球，它们依次标有数字袋中有四个球，它们依次标有数字1, 2, 2,3. 从此从此袋中任取一球后不放回袋中，再从袋中任取一球，袋中任取一球后不放回袋中，再从袋中任取一球， 以分别以分别X、Y记第一、二次取得的球上标有的数字，求： （记第一、二次取得的球上标有的数字，求： （1）(,)X Y的联合分布律， （的联合分布律， （2）4P XY的的 值。值。 解解 （1） 其中 2 11 (2,1) 4 36 P XY 1 11 (1,3) 4 312 P XY， 1 (1,1)00 4 P XY （2） 2 41411,11,22,1 3 P XYP XYP XyP XyP Xy 2设二维随机变量设二维随机变量(,)X Y在区域在区域( , )|02,12)Dx yxy 上服从均匀分布，试求（上服从均匀分布，试求（1） P XY， （2）1P XY. 解解 X的概率密度为： 1 ( , ) ( , )6 0 x yD f x y 其它 ， 则 （1） 2 00 11 ( , ) 63 y x y P XYf x y dxdydydx ； (2） 22 01 12 1 63 x P XYdxdy X Y 1 2 3 1 2 3 0 16 112 16 16 16 112 16 0 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 3设二维随机变量的联合概率密度函数为：设二维随机变量的联合概率密度函数为： 2() 0, 0 ( , ) 0 其它 xy Cexy f x y 求： （求： （1）常数）常数C的值；的值； （2）(, )PX YD的值，其中的值，其中( , )|0,0,1Dx yxyxy； (3）随机变量）随机变量XY与至少有一个小于至少有一个小于 2 的概率。的概率。 解解 （1）因为 2() 00 ( , )111 4 x y C f x y dxdyCdxedy ，所以4C ； （2） 11 2()2 00 (, )( , )41 3 x x y D PX YDf x y dxdydxedye （3） 2()8 22 (22)12,2141 x y PXYP XYdxedye 习题习题 32 边缘分布边缘分布 1一射手进行射击，一射手进行射击，每次每次击中目标的概率为击中目标的概率为0.7，射击进行到击中目标两次为止。设，射击进行到击中目标两次为止。设X表示第一次击中目表示第一次击中目 标所进行的射击次数，以标所进行的射击次数，以Y表示总共射击次数。试求： （表示总共射击次数。试求： （1）(, )X Y的联合分布律； （的联合分布律； （2）(, )X Y关于关于X与与Y 的边缘分布律的边缘分布律. 解解 （1）,XmYn的含义：第n次射击时恰好第二次击中目标，前1n射击中仅有一次击中目标， 故 22 0.70.32,3,1,2,1 , 0 n nmn P XmYn 其它 ， （2）Xm的含义：第m次射击时恰好第一次击中目标，前1m射击均未击中目标，故 1 0.7 0.3,1, 2, m P Xmm Yn的含义：第n次射击时恰好第二次击中目标，前1n射击中有一次击中目标，2n次射击未中. 故 22 (1)0.70.3,2,3, n P Ynnn 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 2. 设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为：设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为： 2 (),01,02, ( , ) 0, A xxyxy f x y 其它. 试求： （试求： （1）常数）常数A的的值；值； （2）(, )X Y的联合分布函数；的联合分布函数； （3）(, )X Y关于关于X与与Y的边缘概率密度函数和边缘分布函数。的边缘概率密度函数和边缘分布函数。 解解 （1）因为 12 2 00 53 ()11 35 Adxxxy dyAA ； （2） 322 2 00 2 2 23 00 2 1 2 00 000 33 ()()01, 02 5534 323 ( , )()01,2 555 33 ()1, 02 5520 11,2 xy x y xy xx y dxxxy dyyxy x F x ydxxxy dyxxy yy dxxxy dyxy xy 或 （3） 2 3 00 23 ( )01 55 11 X x x Fxxx x ， 2 66 01 ( )55 0 X x xx fx 其它 ， 2 00 3 ( )02 520 12 Y y yy Fyy y 13 02 ( )510 0 Y y x fy 其它 习题习题 33 随机变量的独立性随机变量的独立性 1.设二维随机变量设二维随机变量(, )X Y的联合密度函数的联合密度函数为为 2 1 1, 1 ( , ) 0, xye x yf x y 其它 , 判判断断X与与Y是否相互独立。是否相互独立。 解解 因为 2 2 1 1 11 ( ) 0 X ex fxdyx x y 其他 ， 2 1 1 1 1 ( ) 0 Y ye yfydx x y 其它 ， ， ， 所以 ( , )( )( ) XY f x yfx fy，因而X与Y是独立 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 3.设随机随机变量设随机随机变量Y的密度函数的密度函数 ,0 ( ) 0,0 y Y ey fy y ，定义随机变量定义随机变量 12 ,XX为为 2, 3, k Yk X Yk (1, 2)k , 求求 1 X和和 2 X的联合分布，并判断的联合分布，并判断 1 X与与 2 X是否相互独立是否相互独立. 解解 （1） 1 X 2 X 2 3 2 ()P X 2 3 1 1 e 12 ee 0 2 e 2 1 e 2 e 1 ()P X 1 1 e 1 e 其中 1 1 12 0 2,211 y P XXP Ye dye ， 12 2,3(1 2)0P XXP YY， 2 12 12 1 3,2(12) y P XXP YYe dy ee ， 2 12 2 3,3(2) y P XXP Ye dy e ； （2）因为 1212 2,32 3P XXP XP X，所以 1 X与 2 X是不独立的 3设设X与与Y是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，X在在(0,1)服从均匀分布，服从均匀分布，Y的概率密度函数为的概率密度函数为 /2 1 0 ( )2 00 y Y ey fy y （1）求）求X与与Y的联合概率密度；的联合概率密度； （2）设含有）设含有a的二次方程为的二次方程为 22 20aXaY，试求，试求该该方程方程有实根的概率有实根的概率. 解解 （1）因为X与与Y是相互独立的随机变量，所以其联合概率密度函数为 2 1 01,0 ( , )( )( ) 2 0 y XY exy f x yfx fy 其它 ； （2）设 A：该二次方程有实根 则有 1 11 2222 222 000 1 ( )(0)440(1)21 2 yx x P APPXYP YXdxedyedxe . 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 习题习题 34 条件分布条件分布 1. 设二维随机变量的设二维随机变量的联合联合概率密度函数为概率密度函数为 1 sin(), 0,0 ( , )222 0, xyxy f x y 其它 试求试求 | ( | ) X Y fx y和和 | ( | ) (0, 0) 22 Y X fy xxy . 解解 2 0 1 (cossin )01 ( )( , )sin()22 2 0 X xxx fxf x y dyxy dy 其它 2 0 1 (cossin )01 ( )( , )sin()22 2 0 Y yyy fyf x y dxxy dx 其它 则 | sin() 0, 0 cossin22( | ) 0 X Y xy xy yyfx y 其它 , | sin() 0, 0 ( | )cossin22 0 Y X xy xy fy xxx 其它 2在在 10 件产品中有件产品中有 2 件一级品，件一级品，7 件二级品和件二级品和 1 件次品，从件次品，从 10 件产件产品品中无放回抽取中无放回抽取 3 件件，用，用X表示其中表示其中 的一级品，用的一级品，用Y示其中的二级品数，求（示其中的二级品数，求（1）0X 在的条件下在的条件下Y的条件分布； （的条件分布； （2）在）在2Y 的条件下的条件下X的的 条件分布。条件分布。 解解 X Y ()P Y 0 0 1120 1120 0 14120 7120 21120 21120 42120 0 63120 3 35120 0 0 35120 ()P X 56120 56120 8120 1 其中 111 271 3 10 14 1,1 120 C C C P XY C ， 12 27 3 10 42 1,2 120 C C P XY C 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 （1）0X 在的条件下Y的条件分布 2112 3 2| 0 5612 0, 0 8 P YX或 21 71 3 8 3 2|0, 8 C C P YX C 2|0YX的含义：已知取出的三件中无一级品，即在剩余的 8 件中取三件，其中有两件二级品 和一件次品. 35120 56120 5 3|0 8 P YX，或 3 7 3 8 5 3|0 8 C P YX C ； 3|0YX的含义：已知取出的三件中无一级品，即在剩余的 8 件中取三件，其中有三件二级品. （2） 12 0|2, 2142 120120 6363 1|2 3 1212 3 00 P XYP XY 或 11 12 11 33 12 0|2,1|2 33 CC P XYP XY CC . 习题习题 35 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 1.设随机变量设随机变量XY与相互独立，且它们的分布率分别为相互独立，且它们的分布率分别为 X 12 p 13 44 求（求（1）2UXY的分布律；的分布律； （2） 22 VXY的分布律。的分布律。 解解 （1） 其中其中 3 23 (3)(2,1)(2)(1) 4 510 P UP XYP XP Y ； （2） 其中其中 1 33 29 (5)(1,2)(2,1) 4 54 520 P VP XYP XY . Y 12 p 23 55 U 3 2 1 0 k p 3 10 9 20 1 10 3 20 V 2 5 8 k p 1 10 9 20 9 20 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 2 设 设,X Y是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量， 它它们分别服从参数为们分别服从参数为 12 , 泊松分布泊松分布， 证明证明ZXY服从参数为服从参数为 12 的泊松分布。的泊松分布。 证证 对任意的非负整数对任意的非负整数k，有，有 00 , kk ii P ZkP XYkP Xi YkiP Xi P Yki 12 12 0 !()! ik i k i ee iki 1212 ()() 1212 00 ! !()! kk ik iiik i k ii eke C ki kik 12 12 () 12() 12 () () ! k k e e kk ， 即即 12 12() () ! k P XYke k ，0,1,2,k ，所以，所以 12 ()XYP 3设随机变量设随机变量(, )X Y的联合密度函数为的联合密度函数为 301, 0 ( , ) 0 xxyx f x y 其它 , 试求试求ZXY的概率密度函数的概率密度函数. 解解 ( )( , ) Z x y z FzP ZzP XYzf x y dxdy, 13 0 0000 =1111 3 1301 01 22 x z z zz zz zz dxxdyz z ， 所以 2 3 (1)01 ( )( )2 0 ZZ zz fzFz 其它 . 4设设连续型连续型随机变量随机变量(, )X Y的的联合概率联合概率密度函数为密度函数为 01,01 ( ,) 0 xyxy fx y 其它 求（求（1）max(, )UX Y的分布函数和概率密度函数；的分布函数和概率密度函数； （2）min(, )VX Y的分布函数和概率密度函数。的分布函数和概率密度函数。 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 解解 （1）( )max(, ),( , ) U D F uPX YuP Xu Yuf x y dxdy， 3 00 00 00 ()0101 1 1 uu u u dxxy dxuuu u u 1 1 , 所以 2 301 ( )( ) 0 UU uu fuF u 其它 ; (2)( )min(, )1(min(, )1(,) V F vPX YvPX YvP Xv Yv 11 23 00 00 1( , )1(),0101 1 1 uu D v v f x y dxdydxxy dxvvvvv v v 1 1 所以 2 12301 ( )( ) 0 VV vvv fvFv 其它 第四章第四章 数字特征数字特征 习题习题 41 数学期望数学期望 1将将n只球随机地放到只球随机地放到m个盒子中，每个盒子可装任意多个球，每个球以相同的概率落入每个盒子中，求个盒子中，每个盒子可装任意多个球，每个球以相同的概率落入每个盒子中，求 有球的盒子数有球的盒子数X的数学期望。的数学期望。 解解 设 1 k k k X 第 盒子中有球 第 盒子是空的0 ，1, 2,km，则 k X 0 1 (= ) k P X 1 () n m m 1 1 () n m m 所以 1 ()1 ()n k m E X m 设X表示有球的盒子数，则 1 m k k XX ，由期望的性质得 11 ()(1() )() nn mm E Xmmm mm 2设设(, )X Y的密度函数为的密度函数为 22 () 4,0,0 ( , ) 0, xy xyexy f x y 其它 ， 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 求求 （1）()E X； （； （2）( )E Z，其中，其中 22 ZXY. 解解 （1） 2222 2()2 0000 ()( , )4 xyxy E Xdxxf x y dydxx yedyxdeedy 2222 00 002 xxyx xeedxeedx （2） 222 22()4 2 0000 ( )44sincos xyr E Zdxxy xy edydr edr (分部积分) 22 32 0 0 3 3 4 rr r er edr 【注】概率积分 2 x edx 习题习题 42 方方 差差 1.设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 求： （求： （1）()D X； （； （2） 2 ( 35)DX 解解（1） ()2 0.40 0.32 0.30.2E X ， 2222 ()( 2)0.400.320.32.8E X ，所以 22 ()()()2.76D XE XEX； （2） 4444 ()( 2)0.400.320.311.2E X ， 24222 ()()( ()11.22.83.36D XE XE X，所以 22 ( 35)9 ()93.3630.24DXD X 2.设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为：的分布函数为： 0,0 ( ), 0 1, x F xkxbx x ，求： （求： （1）常数）常数, k b的值；的值； （2）()D X. 解解 法 1 （1）因为 X 是连续型随机变量，所以它的分布函数应该是连续的，因而有 (0 )(0)FF ， 由此可得0b ；()( )FF ，由此可得1k，即 1 k ，所以 00 ( )0 1 x x F xx x ， 即(0,)XU； （2）因为(0,)XU，所以 2 () 12 D X 法 2 （1）概率密度函数 ,0 ( )( ) 0, kx f xF x 其他 ， X 202 p 0.40.30.3 数学学院 苏灿荣 禹春福 2013.12 由( )1f x dx 及lim( )( ) x F xF 得 0 1 1, 1 0 kkdx kb b ，所以 1 ,0 ( ) 0, x f x 其他 ， （2） 2 22 00 11 (),(), 23 E XxdxE Xxdx 所以 2 22 ()()() 12 D XE XEX . 习题习题 43 重要分布的期望和方差重要分布的期望和方差 1设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且相互独立，且(2,1)XN，( 2,4)YN ，324ZXY，试求（试求（1）( )D Z； （2）9P Z 的值的值. 解解 （1）因为(2,1)XN，( 2,4)YN ，则有2,1;2,4EXDXEYDX ， 所以 ( )9 ()4 ( )9 1625D ZD XD Y； （2）(324)32414EZEXYEXEY，( )25D Z ，由题设可知 2 (14, 5 )ZN， 所以 149 14 9( 1)1(1)0.1587 55 Z P ZP 习题习题 44 协方差、相关系数与矩协方差、相关系数与矩 1设随机变量设随机变量(,)X Y服从区域服从区域( , )|01,0Dx yxyx上的均匀分布，试求上的均匀分布，试求: (1)X与与Y的协方差的协方差 cov(, )X Y； （2）相关系数）相关系数 XY . 解解 2( ,) (,)( ,) 0 xyD X Yfxy 的联合密度为 其他 （1） 111 000000 211 ()2,( )2,()2, 334 xxx E XdxxdyE YdxydyE XYdxxydy 所以 1211 cov(, )()() ( ) 43336 X YE XYE X E Y， （2） 1 2222 00 21 ()()()2( ) 318 x D XE XEXdxx dy ，同理 1 22 00 11 ( )2( ) 318 x D Ydxy dy 所以 cov(, )1 2()( ) XY X Y D X D Y 2. 随机变量随机变量X的概率密度的概率密度函数为：函数为： | | 1 ( ), 2 x f xex ,试证明试证明X与与|X