中央电大会计经济数学基础讲义.doc

10秋会计、工商管理专科经济数学基础集中面授教学进度计划函数与极限 10月23日导数与微分 10月31日积分与定积分 11月7日 导数微分与积分在经济问题中的应用 11月27日矩阵 12月5日线性方程组 12月25日经济数学基础学习策略一、利用“矩阵的行初等变换”可以把任意矩阵变换成“阶梯形矩阵”“行简化阶梯形矩阵”，这个运算方法很简单的，只要数字方面的计算细心，期末考试中至少可得三十分。二、导数计算题（显函数或隐函数求导）其实没有难度，关键是导数的几个公式、法则；尤其是复合函数求导法要掌握，期末考试至少可以得十分。三、经济分析函数应用题，该题期末考试占卷面二十分，而实际上只有三种题型，也就是大家作业册上的几道应用题，如果能把解题方法记牢了，拿下这二十分也相当容易，因这其解题方法非常的死板。（需要说明的是：平时作业分如果分，期末考试卷面达分，则经济数学基础课程及格）。经济数学微积分部分讲义第一章 函数第一节 函数基本知识1、 函数的概念2、 函数的定义域、值域，运算法则，函数相等例1、 (0907)求函数的定义域例2、 (1001)设函数，求例3、 (0901)若函数，则 例4、（0807） 例5、（0707）下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等A B C D 3、 函数的基本属性：1) 单调性例5、（0807）2) 奇偶性例6、（0801）下列函数为偶函数的是（ ）A、 B、 C、 D、例5、（0807）函数的图像关于 对称。3) 有界性4) 周期性第二节 初等函数的图像及其基本性质1. 常数函数：2. 幂函数：3. 指数函数：4. 对数函数：5. 多项式函数：6. 三角函数：第三节 函数的初等运算1、 四则运算例1、 将下列函数分解为基本初等函数的四则运算： 2、复合运算例2、 将下列函数分解为基本初等函数的四则运算： 第四节 经济分析中的常见函数 一、基础知识：qOp1. 需求函数：线性需求函数：图像与基本性质：单调减函数需求量随价格上涨而减少2. 供给函数qOp线性供给函数：图像与基本性质：单调增函数供给量随价格上涨而增加3. 成本函数与平均成本成本函数： ：固定成本，：随产量变化的变动成本常见成本函数：线性:二次: 4. 收入函数与平均收入 收入函数： 平均收入函数：5. 利润函数与平均利润 利润函数： 平均利润函数：6. 市场均衡价格、均衡数量与市场均衡点的概念若存在使得，则称为该商品的市场均衡价格，此时的供给量或需求量称为市场均衡数量7. 盈亏平衡的条件与盈亏平衡点若存在使得，即则称为该商品的盈亏平衡点（又称为保本点）。 二、知识运用与巩固：例1、 市场中某商品的需求函数和供给函数分别为：，试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量。例2、 某商品的成本函数和收入函数分别为：，试求：该商品的盈亏平衡点；该商品销量为5和10时的盈利情况；说明该商品的盈亏情况。第二章 极限第一节 数列与函数的极限定义 一、基础知识：1. 数列的概念及其通项公式2. 数列的收敛、发散与数列的极限定义：给定一个数列，若，A为固定常数，则称数列收敛，否则称其发散。3、函数的极限 时的情形定义1：对函数，若，A为固定常数，则称函数以A为极限。记作 ： 注意：的意义有三种可能时的情形定义2：设函数在点的邻域内（点可要除外）有定义，若（但）时，函数（固定常数），则称当时，函数为极限。 记作 ：4、无穷小量和无穷大量二、知识运用与巩固例1、 下列数列是否收敛？若收敛，求其极限：1) 2)3)第二节 极限的运算一、基础知识：1. 四则运算法则：在某个变化过程中，如果变量与变量分别以A，B为极限，则有：， ， 2. 乘幂与开方运算： ， ， 例1、 求极限：1)2)3)4)3. 分式函数的极限.1) 时的情形例2、 求极限：1)2)3)4)小 结：2) 时的情形例3、求极限：1)2)3) （因式分解）4) （因式分解）5) （分子有理化）6) （分母有理化）7) （先求倒数的极限后再求原函数的极限）小 结： 在处有定义，直接代入 1、因式分解 化简后在处有定义，直接代入。化简 在处无定义 2、分子或分母有理化 不能化简，先求倒数的极限后再求原函数的极限第三节 两个重要极限一、基础知识：1. 注 意：重要极限具有以下两个特征：（1）类型为“”型未定式；（2）分子中sin后面的函数与分母相同2. ， ，注 意：重要极限具有以下两个特征：（1）类型为“1”型未定式；（2）底数是两项之和，第一项为1，第二项与指数互为倒数；（3）令，则当时，于是此极限又可写成 二、知识运用与巩固：例3、求极限：1)解：令 5x = u，当 x 0 时 u 0，因此有也可以按如下格式进行：2)解：3) 解：4)解：5) 解： 因为，可设，当时，所以=6)7)8)例4、解：，则当 x 0 时，u e，所以原式 = 1，即：例 5、解令 u = ex - 1 ，则 x = ln(1 + u)，当 x 0 时 u 0. 所以：，即：第三章 导数与微分第一节 导数的概念及其定义求法1. 导数概念的引入 2. 导数的概念定义：设函数在的领域内有定义，当自变量在点处取得该变量时，函数在的极限存在，则称在点处可导，并称此极限为函数在的导数即：注意：函数的平均变化率与瞬时变化率（边际成本）之间的关系： 平均变化率： 瞬时变化率：3. 导数的定义求法：求求 求极限4 导数的几何意义： 即：函数在的导数即函数在该点处的切线之斜率5. 微分的定义：设在点处可导，自变量在点处取得该变量时，则称为函数在点处的微分。记作： 或6. 微分的几何意义： 第二节 导数与微分的求法一、基础知识：1. 几个初等函数的导数公式 2. 复合函数的导数法则1) 四则运算的导数法则 2) 复合函数的导数法则 重点内容 3.微分的求法 ： 先求导数再求微分 二、例题选讲： 例1、求下列函数的导数与微分：1)2)3)4)5)6) （）7)8)9)10)11)12)13)14)15)第三节 函数的变化率1、平均变化率：2、瞬时变化率（边际成本）：3、相对变化率（函数的弹性）： 第四章 导数的应用(一) 求函数的单调区间定理3.1 设函数在区间上连续，在区间内可导。 如果时，则函数在区间上单调递增；如果时，则函数在区间上单调减少；例1下列函数在指定区间上单调减少的是（ ）答案：DAsinx Be x Cx 2 D3-x例2、求函数的单调区间。解：函数定义域为，令得：，以点为分点，将函数定义域分成三个子区间：当，函数在该区间上为增函数；当，函数在该区间上为减函数；当，函数在该区间上为增函数；(二) 求函数的极值 极值点的定义：设函数在的领域内有定义。如果对该领域内的任意一点恒有，则称为函数的极值点。 极值点的性质定理3.2：若点为函数的极值点，且存在，则。（反之不一定成立） 驻点的定义：若存在点，使得，则称点为函数的驻点。 极值点判定定理3.3：设函数在的领域内连续且可导（可以不存在）。则：1) 如果在点的左领域内，右领域内，那么点为函数的极大值点，且是的极大值。2) 如果在点的左领域内，右领域内，那么点为函数的极小值点，且是的极小值。3) 如果在点的领域内不变号，那么点不是的极值点。注意：可能出现的情况有两种：第一种情况：点是的极值点（1） 函数在的领域内连续且可导， 存在且。（2） 函数在的领域内连续且可导， 不存在，但仍然是极值点。 第二种情况：点不是的极值点。在点的领域内保号，不管是否存在点都不是的极值点。函数极值点可能存在于以下几种情况：i. 驻点ii. 导数不存在的点 求函数极值点及极值的步骤：1) 确定函数的定义域，并求其导数；2) 解方程，求出在其定义域内的所有驻点；3) 找出连续但导数不存在的所有点；4) 讨论在驻点和不可导点的左右两侧附近符号变化的情况，确定函数的极值点；5) 求出极值点所对应的函数值（极大值或极小值）。例3、 求下列函数的驻点及导数不存在的点：1)2)3)4)5)例4、 求下列函数的极值：1)解：函数的定义域为，且，令得驻点，该函数没有导数不存在的点。驻点将定义域分成三个子区间，其函数值分析如下表：0（0,1）1+0-0-2极大值非极大值由表可知，是函数的极大值点，的极大值是2)解：函数的定义域为，且，令得驻点，又在点处不存在。这两点将函数定义域分为三个子区间，其函数值分析如下表：0（0,8）8-不存在+0-0极小值4极大值由表可知，是函数的极小值点，的极小值是；是函数的极大值点，的极大值是。(三) 求函数的最值1、函数极值与最值的差别与联系：极值是函数在极值点的某个领域内而言的局部概念，它必须在区间的内点取得；而最值是函数在整个区间上而言的全局性概念，它可以在区间的内点取得（则它必是极值点），也可以在区间的端点处取得。 2、函数最值的求法：主要是在以下三点中求得i. 驻点ii. 导数不存在的点iii. 区间端点例5、 求下列函数指定区间上的最大值和最小值：1) ，(四) 导数在经济分析中的作用 重点内容1) 需求价格弹性：经济含义：当某种商品的价格下降（或上升）时，其需求量将增加（或减少），亦即某种商品的需求量对价格变化的敏感程度。需求价格弹性的性质：a) 时称为单位弹性 ，经济含义：商品需求量的相对变化=价格的相对变化。b) 时称为富有弹性 ，经济含义：商品需求量的相对变化价格的相对变化基本相等。采取措施：适当降价会使需求量较大幅度上升，从而增加收入。c) 时称为缺乏弹性 ，经济含义：商品需求量的相对变化价格的相对变化基本相等。 采取措施：适当涨价不会使需求量较大幅度下降，从而增加收入。例题选讲：设某种商品的需求函数为1) 求需求弹性。2) 讨论价格为多少时，弹性分别为单位弹性、缺乏弹性、富有弹性？ 2) 边际与边际分析: 边际成本MC: 边际收入MR: 边际利润ML:3) 经济分析中的最大值与最小值 重点内容例1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：, ， 所以，, ， （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 例2某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），求:1) 该产品的边际收入、边际利润函数。2) 产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.解 1）由已知，利润函数 则边际收入，边际利润，2)令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，且最大利润为： （元） 例 3某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解： 因为 = （）, = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 例4某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 :（1）成本函数= 60+2000 因为，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大第五章 不定积分与定积分第一节 不定积分的定义(一) 基本知识：1. 原函数的概念：若，则称为的原函数2. 不定积分的定义：若在区间D上存在原函数，则称为可积函数，并将的全体原函数记为，称它是的不定积分，且： （c称为积分常数，x为积分变量。） 注意： 求不定积分的最后结果一定要加上积分常数。3. 经济分析中的基本应用：由边际函数求成本函数、收入函数、利润函数(二) 知识运用：例1、 求下列函数的全体原函数：1)2)3)4)5)例2、 经过调查发现，某产品的边际成本可由函数给出，其中q是产量数，已知生产的固定成本为2，求生产成本函数。 解：设所求生产成本函数为，由题设，由不定积分的定义知：又依题意，固定成本为2，即当产量时，因此，生产成本函数为：第二节 积分基本公式与积分的基本方法(一) 基本知识：1、 求导运算与求不定积分运算之间的关系：互逆运算求导数求不定积分 求导公式积分公式例1、1 。 答案：2。 答案： 3. 若，则.答案：2、 基本公式：， 4. 积分的加减与数乘运算性质： (二) 积分的三种基本方法1、直接积分法：主要是利用积分性质和积分公式求不定积分的方法例1、求下列不定积分1)2)3)4)2、凑微分法（第一换元法）：（1） 换元，使函数变量与积分变量一致（2） 还原，得出原函数的积分结果例2、求下列不定积分1)解：2)解：3)4)解：5)解： 注：6)解： 注：7) 注：解：=8) 注：解：9)解：= 注：= 3、分部积分法：由于，两边积分得： 注意：分部积分法的关键是： 1、）f(x)可以写成u(x)v(x)的特殊乘积形式； 2、）容易计算出来例3、求下列不定积分：1)解：2)解：又由1）知： 于是：3)解：4)解：5)即：移项得：4、分部积分的列表法求导列 积分列(+) (-) (+) . . 第三节 定积分的概念与求法1、定积分的概念2、牛顿莱布尼兹公式：3、定积分的性质：1)2)3)4)5)3、定积分的求法1) 直接积分法。例1、 求下列定积分：1)2)3) （分段积分）解：4) 于是2) 换元积分法。定积分的换元公式（课本P271）注意：换元过程中有可能要变换积分上下限，计算积分值时可以无需还原积分变量，直接计算即可。例2、 求下列定积分：1)2)3)4)5)3) 分部积分法。例3、 求下列定积分：1)解： 2)解：=例4、 求下列定积分：（先换元后分部）1)于是2)第六章 积分在经济分析中的应用(一) 由边际函数求原函数（为固定成本）1、已知边际成本求总成本的公式：2、已知边际收入求总收入的公式：3、已知边际利润求总利润的公式：例1、（2003中央电大）已知某产品的边际成本为C(q)=4q(万元/百合)，边际收入为R（q）=50-2q(万元/百合),如果该产品的固定成本为10万元，求：（1） 产量为多少时总利润L（q）最大？（2） 从最大利润产量的基础上再增产200台，总利润会发生什么变化？(二) 求成本、利润、收入增量及最优化问题：1、成本增量公式： 2、利润增量公式： 3、收入增量公式： 例2、（仿2009中央电大）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解： 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小例3、生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：已知(x)=8x(万元/百台)，(x)=100-2x，则令，解出唯一驻点，由该题实际意义可知，x = 10为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为：（万元），即利润将减少20万元.例4、（仿2008中央电大）设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1)因为边际成本为 ，边际利润 = 14-2x 令，得x = 7，由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2)当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为： =112-64-98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 例5、（2008中央电大真题）设生产某产品的总成本函数为C(x)5+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R(x)112x(万元百吨)，求：(1)利润最大时的产量；(2)在利润最大时的产量的基础上再生产l百吨，利润会发生什么变化?解题方法同上题，略例6、（200907中央电大真题）例7 （200901中央电大真题）线性代数部分讲义第一章：矩阵第一节：矩阵的有关概念1、矩阵的概念：由个数排成m行n列，并括以方括弧的数表称为m行n列矩阵，通常以英文大写黑体字母A,B,C等表示矩阵。其中每个数都成为矩阵的一个元素。m行n列矩阵简记为。2、行矩阵、列矩阵与n阶矩阵： 当时，矩阵形式为，此时称之为行矩阵。 当时，矩阵形式为，此时称之为列矩阵。 当时，矩阵形式为，此时称之为n阶矩阵或n阶方阵。简记为 3、矩阵的对角线：在n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线。 4、零矩阵、负矩阵与单位矩阵：零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记作或0负矩阵：在矩阵的每个元素前面都添加一个负号得到的矩阵称为的负矩阵，记作-A。单位矩阵：主对角线上的元素都是1其余元素都是0的n阶方阵称为单位矩阵，记为或I。第二节：矩阵的运算1、 矩阵的相等：若两个矩阵满足：1) 行、列数分别相等，即；2) 对应元素相等，即则称两个矩阵相等，记为2、 矩阵的加法：设都是矩阵，且，则注意：只有同型矩阵才能做加法运算。3、 矩阵的数量乘法：设矩阵为任意实数，且，则称矩阵为数与矩阵A的数量乘积，记为。例1、 设例2、 求矩阵X，使得4、 矩阵的乘法：设矩阵，则称矩阵为与的乘积，其中注意：1）只有左边矩阵的列数=右边矩阵的行数时，两个矩阵才能做矩阵乘法运算；2） 矩阵乘积仍是矩阵，乘积矩阵的行数是左边矩阵的行数列数是右边矩阵的列数。3） 矩阵的乘积运算法则也简称为行乘列法则。（0807）答案：A,B为同阶矩阵例1、某班级同学三次竞赛参赛人数分别为：第一次：3第二次：4第三次：3三次考试各门平均成绩分别为：语文：90 85 80数学：100 80 90英语：70 75 70计算各次考试三门课的总分情况。解：例2、已知，求解：例3、已知解：小结：由上例可以看出：1) ，因此矩阵乘法运算不满足交换律；2) 尽管，我们仍然不能肯定，另外，尽管，我们也不能肯定，因此矩阵乘法运算不满足消去律。5、 矩阵的乘法运算性质：1) 结合律 （AB）C=A(BC)2) 数乘结合律：3) 分配律：(左分配律) (右分配律)4） 单位运算：对于单位矩阵I，有5） 乘幂运算：规定， ，注意：矩阵的乘法运算不满足交换律，消去律。6、 矩阵的转置：把一个矩阵A的行与列依次互换位置，得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为。7、 矩阵的转置运算律：1)2) 3) ，重点内容4)例1、设解：（0407）（0701）（0707、1001）（0601）答案：第三节：几类特殊矩阵1、 对角矩阵的定义与简单性质：定义：主对角线以外的元素全为0的方阵称为对角矩阵简单性质： 两个同阶对角阵的和仍为对角阵。 数与对角阵的乘积仍是对角矩阵。 两个同阶对角阵的积仍为对角阵，而且它们的乘积是可交换的。 A为对角阵，则2、 三角矩阵的定义与简单性质： 上三角矩阵：主对角线下方的元素都是0的方阵称为上三角矩阵。 下三角矩阵：主对角线上方的元素都是0的方阵称为下三角矩阵。简单性质： 两个同阶上（下）三角阵的和、数乘、乘积仍为上（下）三角阵。 上三角阵的转置是下三角阵，下三角阵的转置是上三角阵。3、 对称矩阵的定义与简单性质：定义：若矩阵A满足 ，则称A为对称矩阵。简单性质： 对称矩阵一定为方阵， 对称矩阵的所有元素关于主对角线对称，即满足 对角阵是对称阵。（0801）（0607）第四节：矩阵的初等行变化和矩阵的秩1、矩阵初等行变换是指：（1）对换变换：互换矩阵某两行的位置。 （2）倍数变换：用非零常数遍乘矩阵某一行。 （3）倍加变换：将矩阵的某一行遍乘一个常数K加到另一行上。 2、矩阵A经过初等行变换化为B，记作AB 注意：在A、B之间，不能用“”因为AB，只能用“” 3、阶梯矩阵：定义：满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵： （1）各行（元素不全为O的行）的第一个非O元素之前的0元素随行的序数增加而增加。 （2）如果矩阵有O行（元素全为O的行）在矩阵最下方。性质：通过初等行变换，矩阵A可化为阶梯形矩阵。 具体求法是：在矩阵A中，从上到下，逐行把每行中第一个非零元下的元素化为零，便得A的阶梯形矩阵。4、矩阵的秩1) 定义：矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r（A）。2) 满秩矩阵: 设A是n阶矩阵，若秩（A）n，则称A为满秩矩阵，或非奇异或非退化的矩阵。 3）矩阵秩的简单性质定理： 任何矩阵经过初等变换后，其秩不变。 任何满秩矩阵都能经过初等变换化成单位矩阵5、 规定零矩阵O的秩为O，即r（0）O（0507） （0701） （0801）第五节：可逆矩阵与逆矩阵 1、 可逆矩阵与逆矩阵的定义：对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B使得，则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记为。2、 可逆矩阵与逆矩阵的基本性质：重点内容1) 若A可逆，则2) 若n阶方阵A、B都可逆，则3) 若A可逆，则也可逆，且3、 逆矩阵的求法：推论：任何满秩矩阵均能经过初等行变换化为单位矩阵。即：若为满秩矩阵，则总存在初等矩阵使得：。于是由逆矩阵的性质知： 上述求法图示为： 通常采取形式表示求A的逆矩阵运算。（0501） 答案：（0507） 答案：（0707）（0901）（0801）（0901）答案：4、 矩阵方程的解法： （1）AXB解法：若A可逆，A-1存在A-1AI A-1AXA-1B 则XA-1B （2）XAB解法：若A可逆 A-1存在A A-1I XAA-1BA-1 则XBA-1（0501）（0807）（0907）答案：（1001）答案：X=本章知识综合考查真题（0501）（0607）答案：（0707）（0601、0607、0807三次真题）（0901）（1001）第二章：线性方程组第一节：n元线性方程组的有关概念及其高斯消元法一、n元线性方程组的有关概念：1、n元线性方程组：由n个未知数，m个线性方程组成的方程组；2、齐次线性方程组：时，方程组称为齐次线性方程组；3、非齐次线性方程组：，方程组称为非齐次线性方程组。4、线性方程组的有关矩阵： 系数矩阵：由方程组的系数组成的矩阵记为A： 未知量阵：由方程组的未知量组成的矩阵记为X: 常数矩阵：有方程组的常数组成的矩阵记为b: 增广矩阵：由系数阵雨常数阵组成的矩阵：5、方程组的简记：二、n元线性方程组的解： 1、方程组的解：由n个数 组成一个有序数组，若将它们依次代入，使